Öppna frågor undervisning i matematik

3. Resultat

Det på denna plats kapitlet startar oss tillsammans med för att ge enstaka foto från vad forskningen säger angående vilket likt kännetecknar den typ från klassrumsdialog likt engagerar studenter inom gemensamma matematiska resonemang, samt hur denna typ från konversation skiljer sig ifrån andra typer från klassrumsdialog.

oss lyfter fram nyckelfaktorer såsom äger identifierats från forskarna inom studierna, vilket dem anser existera från innebörd på grund av hur klassrumsdialogen gestaltar sig. Därefter följer en del inom vilket oss redogör till specifika lärarhandlingar liksom beskrivs inom dem olika studierna, samt oss visar vid vilket sätt forskarna menar för att dem förmå främja gemensamma matematiska resonemang.

inom detta sista avsnittet inom resultatdelen beskriver oss situationer inom undervisningen då läraren är kapabel behöva vandra in samt leda samtalen inom högre utsträckning samt hur läraren då kunna utföra. inom slutet från kapitlet , vid s. 45–47, äger oss sammanställt enstaka tabell ovan dem arton studierna såsom ligger mot bas på grund av resultatet.

inom tabellen anges författare, titel, publiceringsår, vilket nation studien besitter utförts inom samt matematiskt innehåll samt studiens primära resultat.

Utforskande konversation – studenter uttrycker sina egna idéer samt engagerar sig inom andras

En utgångspunkt till översikten existerar för att samtalen inom matematikklassrum är kapabel titta olika ut samt vid således vis ge olika förutsättningar till elevers deltagande samt utbildning.

Tre olika typer från klassrumsdialog beskrivs inom forskningen. Dessa dialogtyper benämns disputerande konversation, kumulativa diskussion samt utforskande diskussion (Hunter, ; handlar i textilier & Sams, ). Skillnaderna handlar framför allt angående inom vilken mån eleverna engagerar sig inom varandras idéer. inom disputerande diskussion existerar eleverna inriktade vid för att försvara samt behålla kontrollen ovan sina egna idéer, snarare än för att engagera sig inom samt försöka förstå samt dra lärdom från sina klasskamraters idéer.

inom kumulativa konversation, å andra sidan, accepterar eleverna okritiskt dem andra elevernas idéer. Eleverna utvärderar alltså ej varandras påståenden alternativt lösningar, utan godtar dem utan omsvep. inom dem utforskande samtalen däremot, uttrycker samt motiverar eleverna sina egna idéer dock engagerar sig även inom klasskamraternas idéer samt försöker vid sålunda sätt nå enstaka gemensam medvetande.

detta existerar alltså dem utforskande samtalen likt innebär för att eleverna deltar inom vad man är kapabel betrakta såsom gemensamma matematiska resonemang, vilket existerar den typ från konversation såsom står inom fokus till denna översikt.²

^{2 Benämningarna vid den på denna plats typen från dialog skiljer sig mellan studierna, dock oss uppfattar för att detta man talar ifall inom samtliga fall äger stora likheter, samt för att begreppet utforskande konversation (exploratory talk) fångar in huvuddragen inom detta vilket avses.}

oss äger därför valt för att nyttja detta term. Några andra benämningar existerar argumentation-based inquiry (Makar, Bakker & Ben-Zvi, ), samt inquiry based mathematics (Kazemi & Stipek, ).

Utforskande diskussion innebär i enlighet med handlar i textilier samt Sams ()³ att

• all betydelsefull kunskap delas
• alla deltagare inom ett team inbjuds för att bidra mot diskussionen
• åsikter samt idéer respekteras samt beaktas
• alla uppmanas för att klargöra sina skäl (motivera/argumentera)
• utmaningar samt alternativ görs tydliga samt förhandlas
• gruppen försöker nå enighet innan dem tar beslut samt agerar.

(Mercer & Sams, , s.

)

^{3 tillsammans referens mot Barnes, D.R. samt Todd, F. (). Communication and learning revisited: making meaning through talk. Portsmouth, NH: Boynton/Cook Publishers.}

Utforskande diskussion beskrivs inom några från studierna inom kontrast mot detta samtalsmönster likt kallas IRE (Henning, McKeny, Foley, & Balong, ). IRE står på grund av initiering, respons samt bedömning.

inom detta samtalsmönster dominerar läraren samtalet samt eleverna bidrar inom begränsad utsträckning. diskussion i enlighet med IRE inleds oftast tillsammans med enstaka fråga såsom läraren ställer mot eleverna (initierar), varpå eleverna svarar (responderar), varefter läraren utvärderar (evaluerar) elevernas svar. Lärarens ämnen äger då ofta bara en riktig svar. Den denna plats typen från ämnen kallas ibland till stängda problem att diskutera samt kännetecknas från för att dem existerar utvärderande snarare än utforskande.

Forskaren Ronald A

detta önskar yttra för att dem kontrollerar för att (eller om) eleverna äger begripet snarare än hur dem besitter begripet. Öppna problem att diskutera, däremot, kunna äga flera svar vilket (alla) existerar riktig. dem olika svaren vid öppna problem att diskutera förmå exempelvis företräda skilda synsätt, såsom alternativa lösningsstrategier vid en bekymmer.

Öppna ämnen ifall hur eleverna förstår något ger läraren chans för att ta tillvara elevers olika idéer inom klassrummet.

Detta knyter an mot lärarens respons vid dem idéer liksom eleverna uttrycker. inom detta utforskande samtalet tas elevernas idéer tillvara samt används vilket ett tillgång på grund av för att fördjupa elevernas matematiska medvetande. Elevernas idéer verifieras samt värdesätts samt blir enstaka utgångspunkt på grund av detta fortsatta samtalet (Hufferd-­Ackles, Fuson & Sherin, ).

Fyra nyckelfaktorer tillsammans innebörd till hur klassrumsdialogen gestaltar sig

Utforskande konversation kännetecknas från för att studenter uttrycker sina matematiska idéer samt engagerar sig inom andra elevers matematiska idéer.

Eleverna deltar alltså genom för att motivera, jämföra samt bedöma påståenden. Läraren, å sin blad, stödjer elevernas deltagande inom samtalen genom för att ställa öppna problem att diskutera, lyssna vid samt ta tillvara elevernas idéer samt uppmuntra elevers engagemang inom andra elevers matematiska idéer. oss bör för tillfället förbättra detta genom för att utgå ifrån Hufferd-­Ackles samt kollegors () rapport på grund av fyra nyckelfaktorer likt besitter innebörd på grund av hur dialogen inom klassrummet gestaltar sig, nämligen:

• Vem såsom ställer problem att diskutera samt vilken typ från ämnen vilket ställs.
• Vem såsom redogör samt motiverar matematiska idéer.
• Vem vilket bidrar tillsammans matematiska idéer.
• Vem såsom tar ansvar på grund av lärandet samt utvärderingen från matematiska resonemang.

I detta nästa redogör oss på grund av tre studier vilket relaterar mot dessa nyckelfaktorer.

En klassrumsresa mot utforskande samtal

Vi börjar tillsammans med den lärande inom vilken Hufferd­-Ackles samt kollegor () redogör till dem fyra nyckelfaktorerna.

inom studien följer forskarna ett pedagog samt hennes studenter beneath en skolår. Studien visar hur samtalen inom matematikklassrummet förändras inom förhållande mot dem fyra nyckelfaktorerna. Förändringen går inom riktning mot utforskande konversation. Processen sammanfattas nedan. ett mer utförlig presentation återfinns inom slutet från detta avsnitt.

Läraren inom studien besitter endast en års upplevelse från utbildning.

vilket ett sektion inom studien inför läraren en nytt forskningsbaserat arbetssätt tillsammans betoning vid gemensamma matematiska resonemang. Lärarna får stöd inom denna förändring nära återkommande möten tillsammans med kollegor. Varken läraren alternativt eleverna inom studien existerar vana nära utforskande diskussion då studien inleds.

detta utför detta möjligt för att följa både lärarens samt elevernas förändrade roller samt beteenden beneath studiens gång.

• Vem ställer frågorna samt vilken typ från ämnen ställs? Inledningsvis existerar läraren den enda vilket ställer ämnen, samt då framför allt stängda ämnen. Elevernas (korta) svar vid dessa ämnen existerar även inom huvudsak elevernas bidrag mot samtalen – dem ställer själva inga ämnen.

  Den förändring liksom förmå iakttas mot slutet från studien existerar för att lärarens problem att diskutera förändrats. Syftet tillsammans frågorna blir idag snarast för att utforska elevernas reflektioner samt idéer. Läraren ställer öppna problem att diskutera, alternativt problem att diskutera liksom följer upp elevers idéer.

  Eleverna ställer idag även ämnen mot varandra samt flera från dessa existerar varför-frågor vilket kräver enstaka motivering.

• Vem redogör samt motiverar matematiska idéer? Inledningsvis syns erhålla initiativ ifrån läraren till för att locka eleverna för att dela tillsammans sig från sina idéer, strategier alternativt förklaringar. vilket nämndes ovan existerar dem ämnen likt läraren ställer inriktade vid en visst (kort) svar, samt elevernas enda bidrag existerar deras (ofta korta) svar vid dessa ämnen.

  Förändringen innebär för att läraren lyssnar noga vid detta eleverna säger samt uppmuntrar eleverna för att förbättra sina förklaringar samt fördjupa sina matematiska resonemang. Eleverna redogör samt motiverar för tillfället sina idéer.

• Vem bidrar tillsammans matematiska idéer? Inledningsvis står läraren ofta nära tavlan tillsammans ett skrivdon inom handen samt redogör på grund av eleverna.

  Eleverna bidrar ej tillsammans med sina matematiska idéer. Förändringen innebär för att läraren följer upp elevernas förklaringar samt bygger vidare vid dem. Elevernas felsvar används likt möjligheter mot utbildning. Läraren tillåter för att hennes förklaringar avbryts från eleverna. Eleverna uppvisar enstaka säkerhet då detta gäller dem egna idéerna, även ifall dessa skiljer sig ifrån andra elevers idéer.

  dem bidrar tillsammans sina idéer då läraren alternativt andra studenter resonerar, dem jämför samt dem kontrasterar idéer.

• Vem tar ansvar till lärandet samt utvärderingen från matematiska resonemang? inom inledningen upprepar läraren detta svar denna får ifrån ett skola på grund av all klassen samt bemöter detta, antingen genom för att bekräfta för att detta existerar korrekt alternativt genom för att visa den korrekta metoden.

  Eleverna existerar passiva lyssnare. Förändringen innebär för att läraren uppmuntrar samt förväntar sig för att eleverna tar ansvar till för att gemensamt bedöma allas arbeten samt koncept Läraren hjälper mot samt följer upp nära behov. Eleverna hjälper idag varandra för att förstå; dem tar initiativ mot för att klargöra egna samt andras idéer.

  för att en resonemang håller matematiskt blir kriteriet på grund av för att resonemanget bör accepteras, snarare än lärarens bekräftelse.

Ökat fokus vid själva matematiken

Vi bör uppehålla oss lite nära den nyckelfaktor liksom besitter tillsammans frågorna inom matematikklassrummet för att utföra – vem likt ställer dem samt vilken typ dem existerar från – tillsammans med konsekvens ifrån ett ytterligare forskning liksom även den beskriver hur lärares samt elevers roller förändras sidled ovan tidsperiod (McCrone, ).

Studien pågår inom sex månader. Läraren inom studien äger utdragen kunskap från jobb såsom pedagog dock anser sig existera svag inom matematik. denna besitter beneath enstaka period haft ambitionen för att förbättra sin förmåga för att leda studenter inom gemensamma matematiska resonemang samt besitter tidigare deltagit inom fortbildning inom matematikdidaktik.

nära återkommande möten träffar denna kollegor samt pratar angående hur man kunna leda utforskande samtal.

Studien från McCrone fokuserar vid ett ytterligare aspekt från denna nyckelfaktor än vad Hufferd­-Ackles samt kollegor utför. Förändringarna gäller på denna plats snarast vilket läraren samt eleverna fokuserar vid inom samtalen, samt innebär inom grova drag för att fokus flyttas ifrån procedurer mot själva matematiken.

Tidigt inom studien existerar lärarens ämnen inom huvudsak inriktade mot själva utförandet, alltså hur eleverna går tillväga då dem löser enstaka arbetsuppgift (proceduren). detta existerar framförallt ämnen vid detaljnivå angående användningen från enstaka viss lösningsstrategi, exempelvis vilket gjorde ni sedan? Elevernas bidrag består då främst från beskrivningar från dem olika stegen nära lösningen från enstaka arbetsuppgift, alternativt från numeriska svar utan förklaringar.

Det förekommer även inledningsvis inom begränsad omfattning för att läraren ställer ämnen angående den matematiska strukturen inom enstaka arbetsuppgift (McCrone, ).

detta förmå artikel ämnen ifall matematiska attribut hos enstaka svar alternativt ett lösningsstrategi, exempelvis Hur förmå ni nyttja division inom detta ni menar existerar en bekymmer såsom handlar angående för att subtrahera?. Denna typ från ämnen blir dock allt vanligare mot slutet från inledande terminen. Då syns även förändringar inom elevernas deltagande, vid sålunda vis för att eleverna börjar motivera sina lösningsstrategier matematiskt.

dem börjar då även ställa problem att diskutera ifall samt efterfråga motiveringar från andra elevers lösningar.

Mot slutet från inledande terminen börjar läraren även nyttja enstaka fräsch typ från problem att diskutera, sålunda kallade teoriorienterade ämnen (McCrone, ). Läraren kunna be eleverna beakta ett situation alternativt en term likt relaterar mot något man tidigare samtalat om, dock ännu ej utforskat, genom för att exempelvis ställa frågan Hur vet ni då ni besitter en mönster?

för tillfället syns ett ökad vilja bland eleverna för att förklara samt motivera sina lösningar, för att tänka ovan samt bemöta andra elevers idéer samt för att utforska nya matematiska situationer.

Att ta en steg tillbaka samt ge stöd nära behov

Vi bör avslutningsvis uppehålla oss nära den från nyckelfaktorerna inom studien från Hufferd­-Ackles samt kollegor vilket handlar ifall för att ta ansvar till lärandet.

inom ett process mot utforskande konversation tar alltså eleverna allt större ansvar till för att själva utföra sig förstådda samt på grund av för att förstå klasskamraternas resonemang. Läraren hjälper mot samt ger stöd nära behov. Detta existerar enstaka förändring liksom även beskrivs inom McCrones forskning. Förändringen innebär för att läraren efter grabb tar några steg åter.

detta existerar ej längre lika vanligt för att läraren ger stöd samt exemplifierar tillsammans lämpliga lösningsstrategier på grund av eleverna. inom stället försöker läraren underlätta elevernas diskussioner genom för att tolka deras lösningar samt uppmuntra eleverna för att bemöta varandras idéer. Detta illustreras inom fetstil inom utdraget nedan. Utdraget visar även för att eleverna tar ansvar på grund av för att utforska egna samt andras idéer.

dem uttrycker sina idéer, jämför lösningsmetoder samt strävar sig till för att förstå andras idéer.

Den arbetsuppgift såsom studenter samt pedagog samtalar om inom McCrones undersökning existerar ett således kallad magisk cirkel. oss redogör ej denna närmare eftersom oss bedömer för att detta ej behövs till för att elevernas engagemang inom varandras idéer samt lärarens sätt för att underlätta resonemanget bör framgå.

Kenny: Hm … oss besitter dem sju cirklarna denna plats … samt summan bör bli 12, vilket existerar en jämnt anförande.

sålunda jag tror för att man måste sätta en jämnt anförande [i mittencirkeln]. dock angående man önskar ett fåtal 11 alternativt något annat, typ 13, då tror jag för att man borde sätta en ojämt anförande inom mitten.

Margaret: detta plats vad jag tänkte.

Läraren: Bara på grund av för att existera trygg vid för att varenda hänger tillsammans med … därför ni säger Kenny, för att då summan existerar en jämnt anförande …

Kenny: ifall summan existerar en jämnt anförande därför måste man sätta en jämnt anförande inom mittencirkeln, på denna plats.

dock angående summan existerar en ojämt anförande liksom 13 sålunda måste man äga en ojämt anförande inom mitten.

Läraren: Vill någon svara vid detta genom för att titta vid exemplen vilket står vid tavlan? Margaret?

Margaret: detta Kenny sade existerar logiskt dock hm …. dock detta var exemplet, Lisas svar (på problemet tillsammans fem cirklar) existerar 8, samt hennes anförande inom mitten existerar 1.

Läraren: Okej.

denna provar Kennys teori … denna önskar för att oss tittar vid Lisas.

Nikki: detta existerar identisk sak då summan blir tiotal. [Pekar vid för att exemplet tillsammans fem cirklar liksom resulterade inom summan från 10 även ägde en ojämt anförande inom mitten.]

Kenny: Joo, jag såg summan från 10 samt tänkte för att, alltså 10 är kapabel artikel både jämnt samt ojämt eftersom ni är kapabel att nå ett mål eller resultat detta tillsammans både femmor alternativt tvåor.

dock jag tittade ej vid Lisas exempel.

Läraren: Kan oss vandra igen mot vad ni just sade, för att 10 kunna artikel både en jämnt samt ojämt tal?

(McCrone, , s. )

Detta segment avslutas tillsammans enstaka fullständig återgivning från Hufferd­-Ackles samt kollegors schematiska skildring från lärarens samt elevernas förändrade roller inom förhållande mot dem fyra nyckelfaktorerna.

Förändringen ovan tidsperiod beskrivs inom olika nivåer (0–3) inom riktning mot utforskande diskussion. Beskrivningen ger enstaka klar bild från för att lärares samt elevers beteende förändras sidled, något såsom betonar lärarens innebörd till elevers deltagande inom utforskande diskussion. till ytterligare konsekvens såsom beskriver pedagog samt elevers parallella förändringar, titta Hunter () samt Baxter samt kollegor ().

Tabell 1.

Nivåer inom lärares samt elevers förändrade roller nära utvecklingen mot utforskande konversation (Hufferd­-Ackles , , s. 88–90).

Vem ställer frågorna samt vilka problem att diskutera ställs? – förändring ifrån för att läraren existerar den liksom ställer problem att diskutera mot för att eleverna ställer frågor
Nivåer	Lärare	Elev
Nivå 0	Läraren existerar den enda liksom ställer ämnen. flera korta ämnen på grund av för att eleverna bör gå vidare lyssna vid läraren.	Eleverna ger korta svar vid lärarens ämnen. Inga matematiska konversation mellan eleverna.
Nivå 1	Läraren börjar fokusera mer vid elevers tänkande samt mindre vid deras svar. Läraren ställer uppföljande ämnen angående elevers metoder samt svar. Läraren existerar ännu den enda liksom ställer frågor.	När enstaka skola svarar vid enstaka fråga lyssnar dem andra eleverna passivt alternativt avvaktar vid sin tur.
Nivå 2	Läraren fortsätter för att ställa utforskande problem att diskutera samt ställer även fler öppna ämnen. Läraren underlättar även samtalen mellan eleverna genom för att exempelvis be eleverna förbereda sig vid för att ställa problem att diskutera ifall andra elevers arbeten.	Eleverna ställer problem att diskutera ifall andra elevers arbeten likt redovisas vid tavlan, ofta vid lärarens uppmaning. Eleverna lyssnar vid varandra därför för att dem ej upprepar frågor.
Nivå 3	Läraren förväntar sig för att eleverna ställer problem att diskutera mot varandra ifall deras arbeten. Lärarens ämnen är kapabel kvar guida samtalen.	Samtal mellan eleverna existerar elevinitierade samt ej beroende från läraren. Eleverna ställer problem att diskutera samt lyssnar vid svar. flera problem att diskutera existerar varför- problem att diskutera såsom kräver motivering från den likt svarar. Eleverna repeterar sina egna alternativt andras ämnen tills dem existerar nöjda tillsammans svaren.

Förklara hur man tänker – förändring mot för att eleverna allt oftare redogör samt motiverar sina matematiska idéer
Nivåer (beskriver utvecklingen ovan tid)	Lärare	Elev
Nivå 0	Inga alternativt ett fåtal lärarhandlingar till för att locka eleverna mot för att dela tillsammans sig från sitt tänkande, sina strategier alternativt förklaringar; läraren förväntar sig svarsfokuserad respons ifrån eleverna.	Inga förklaringar från detta egna tänkandet alternativt från strategier. Eleverna svarar bara vid lärarens frågor.
Nivå 1	Läraren utforskar elevers tänkande mot viss sektion. ett alternativt numeriskt värde strategier lockas fram. Läraren fyller år ibland egen inom förklaringarna.	Eleverna delar tillsammans sig från sitt matematiska tänkande, vanligen då detta efterfrågas från läraren, erhålla likt utför detta vid eget initiativ. dem ger korta beskrivningar från sitt tänkande
Nivå 2	Läraren utforskar mer intensiv inom avsikt för att lära sig ifall elevernas tänkande samt ger stöd på grund av detaljerade beskrivningar från eleverna. Läraren öppnar till samt lockar fram flera olika strategier.	Eleverna ger vanligen upplysning då detta efterfrågas från läraren, tillsammans vissa inslag från egna initiativ. dem börjar ta ställning samt ge formulering på grund av mer resultat vilket svar vid lärarens uppmuntran. dem redogör olika steg inom sitt tänkande genom för att ge fylligare beskrivningar samt dem börjar försvara sina metoder samt svar. andra studenter lyssnar stödjande.
Nivå 3	Läraren lyssnar noga vid elevernas beskrivningar från sitt tänkande samt uppmuntrar eleverna för att utföra sina förklaringar mer fullständiga, bland annat genom för att ställa utforskande problem att diskutera. Läraren stimulerar eleverna för att tänka detaljerad angående strategier.	Eleverna beskriver mer kompletta strategier; dem försvarar samt motiverar sina svar, tillsammans med endast lite uppmaning ifrån läraren. Eleverna inser för att dem kommer för att behöva svara vid problem att diskutera ifrån andra studenter då dem existerar klara, därför dem existerar motiverade samt ta hand om angående för att existera grundliga. andra studenter ger stöd genom aktivt lyssnande.

Källan mot matematiska idéer – förändring ifrån läraren vilket källa mot samtliga matematiska idéer mot för att elevernas idéer även påverkar riktningen vid lektionen
Nivåer	Lärare	Elev
Nivå 0	Läraren står nära tavlan, vanligen tillsammans med enstaka skrivredskap inom handen samt berättar samt redogör på grund av eleverna hur dem bör göra.	Eleverna svarar vid den matematik läraren visar upp. dem bidrar ej tillsammans med egna matematiska idéer.
Nivå 1	Läraren existerar kvar den primära källan mot idéer, även angående läraren även lockar fram egna idéer hos eleverna.	Några från elevernas idéer tas upp inom diskussionen, dock dem utforskas inte.
Nivå 2	Läraren följer upp förklaringar samt bygger vidare vid dem genom för att be eleverna för att jämföra samt kontrastera. Läraren existerar bekväm tillsammans med för att nyttja elevers felsvar liksom möjligheter mot lärande.	Eleverna visar självförtroende då detta gäller deras egna idéer samt delar sitt tänkande samt sina strategier, även angående dem skiljer sig ifrån andra elevers idéer. Elevernas idéer styr ibland riktningen vid matematiklektionen.
Nivå 3	Läraren tillåter för att hens förklaring avbryts från eleverna. Eleverna får förklara samt äga nya strategier även ifall läraren ännu existerar engagerad samt avgör vad likt existerar viktigt för att gå vidare utforska. Läraren använder elevers idéer samt metoder likt bas till lektionen alternativt till för att utföra miniutvikningar.	Eleverna skjuter in idéer då läraren undervisar alternativt andra studenter pratar, säkra vid för att deras idéer existerar viktiga. Eleverna jämför, kontrasterar samt bygger vidare vid andras idéer spontant. Elevers idéer formar delar från innehållet inom flera matematiklektioner.

Lärarhandlingar tillsammans med utforskande diskussion likt mål

I förra avsnittet berörde oss lärarens roll inom utforskande konversation inom matematikklassrummet. oss beskrev vad likt karakteriserar den denna plats typen från diskussion inom relation mot andra typer, dvs.

disputerande diskussion, kumulativa konversation samt IRE-modellen. Likaså belystes beskrivningar från lärares samt elevers parallella tillväxt mot utforskande konversation samt lärarens innebörd på grund av hur samtalen gestaltar sig. inom detta del kommer oss för att vandra närmare in vid specifika lärarhandlingar likt beskrivs inom studierna – lärarhandlingar liksom äger såsom syfte för att bidra mot för att samtalen inom matematikklassrummet blir mer utforskande.

tillsammans lärarhandling avser oss något likt läraren utför alternativt säger.

Vi börjar tillsammans med en segment ifall dem lärarhandlingar likt syftar mot för att erhålla eleverna för att ovan skalle taget delta aktivt inom gemensamma resonemang. detta handlar inom mångt samt många angående handlingar såsom syftar mot för att etablera gynnsamma sociala normer inom klassrummet samt vilket sängar på grund av utforskande samtal.

Det efterföljande avsnittet handlar ifall lärarhandlingar likt syftar mot för att erhålla elevernas gemensamma resonemang för att handla angående matematik.

inom dem utvalda studierna framgår nämligen för att studenter många väl kunna delta inom gemensamma resonemang inom matematikundervisningen, utan för att samtalen faktiskt rör själva matematiken vid en djupare strategi. Detta sker mot modell då eleverna enbart äger fokus vid procedurella aspekter inom sina resonemang.

Forskningen ger inga enkla svar

Vi önskar ursprunglig betona för att forskningen ej är kapabel tillhandahålla några enkla svar vid vilka lärarhandlingar liksom bidrar mot för att eleverna engagerar sig inom utforskande konversation.

från studierna framgår snarast för att detta ej existerar möjligt för att anlända tillsammans med enkla anvisningar liksom fungerar oavsett kontext. Fenomenet klassrumsdialog existerar alltför komplext.

Cengiz samt kollegor () uttrycker detta således här:

The findings on instructional actions provide further bevis of the complexity of the work of extending lärjunge thinking. While having a list of instructional actions as potential steps to take could be helpful, a recipe for which actions to take and what beställning of actions to follow at any given moment during a whole-group discussion does not exist.

In fact, this study demonstrates how some actions could be ganska effective in some cases and not effective in others (Cengiz , , s. ).

En papper förmå alltså, i enlighet med Cengiz samt kollegor, existera produktiv inom en kontext dock ej inom en annat. inom identisk undersökning konstateras dessutom för att enstaka elevs engagemang inom utforskande diskussion kunna föregås från ett kombination från flera olika slags handlingar.

Komplexiteten hos utforskande konversation understryks även från Franke samt kollegor (), liksom besitter studerat relationen mellan lärarhandlingar samt elevengagemang.

Forskarna identifierar en antal lärarhandlingar likt syftar mot för att ett fåtal eleverna för att engagera sig inom andra elevers idéer. Handlingarna existerar från olika stöt, vilket för att läraren ber eleverna förklara någon ytterligare elevs svar alternativt jämföra flera elevers olika lösningar. Studien ger emellertid inget stöd till en samband mellan någon bestämd typ från lärarhandling samt elevernas engagemang inom andra elevers idéer.

Studien visar dessutom för att detta finns flera olika skäl mot för att studenter ej engagerar sig inom andra elevers idéer, samt för att eleverna därför förmå behöva olika typer från stöd. enstaka student är kapabel exempelvis behöva stöd på grund av för att titta hur den egna förklaringen förhåller sig mot ett ytterligare elevs förklaring, medan enstaka ytterligare student snarast är kapabel behöva stöd till för att förbättra sitt engagemang inom andra elevers förklaringar.

Ayalon samt Even () slutligen, visar för att elevers möjligheter mot deltagande inom utforskande diskussion existerar beroende från en komplext samspel mellan detta läraren fullfölja, matematikinnehållet samt klassen.

dem konstaterar följande:

For research aiming to learn about ‘good’ pedagogical models for encouraging argumentation, the findings from this study suggest that a teacher approach that might be considered good in one class fryst vatten not necessarily good in another (Ayalon & Even, , s. ).

Komplexiteten inom klassrumsdialoger mot trots, sålunda ger dem utvalda studierna användbar förståelse angående både lärarhandlingar tillsammans potential för att engagera eleverna inom utforskande konversation samt vid vilket sätt dessa handlingar äger innebörd på grund av elevers engagemang.

Att producera en utforskande klassrumsklimat

Elevers deltagande inom utforskande diskussion skiljer sig liksom oss tidigare beskrivit ifrån deltagande inom konversation i enlighet med IRE-­modellen⁴.

Forskning från bland andra Liljedahl med flera visar på stora lärandefördelar där undervisning sker med hjälp av problemlösning

detta handlar inom detta utforskande samtalet ej främst angående för att försöka svara korrekt vid lärarens problem att diskutera, utan angående för att bidra tillsammans egna idéer, motivera dem samt för att egen ställa problem att diskutera. studenter förväntas alltså bete sig vid en annat sätt, alternativt annorlunda uttryckt: dem sociala normerna på grund av elevers deltagande inom utforskande konversation skiljer sig ifrån dem såsom gäller nära IRE (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ; äkta par, Bakker, & Ben­-Zvi, ).

Normer kunna sägas existera gemensamma förväntningar vid beteendet inom enstaka viss social situation, ett struktur från sociala spelregler. dem existerar ofta outtalade samt osynliga, åtminstone tills dem förändras alternativt bryts.

^{4IRE = initiering, respons samt evaluering}

Exemplifiera, förstärka samt omformulera

Det lärarna inom studierna utför till för att etablera normer vilket lägger bas till utforskande diskussion existerar för att vid olika sätt synliggöra vad likt existerar önskvärda beteenden inom matematikklassrummet, likt mot modell för att lyssna aktivt (Hunter, ; äkta par , ).⁵ Detta fullfölja dem vid flera olika sätt, bland annat genom för att ge modell vid önskvärda beteenden, förstärka elevbeteenden såsom existerar inom linje tillsammans dem förväntade, alternativt omformulera elevernas beskrivningar från vilket dem utför sålunda för att dem normer läraren önskar etablera tydliggörs.

⁵ Aktivt lyssnande = för att engagera sig inom samt försöka förstå detta personen säger.

Att detta klart framgår hur eleverna förväntas bete sig kunna underlätta deras deltagande inom gemensamma resonemang.

Uttalade förväntningar förmå legitimera beteenden likt eleverna annars skulle uppleva sig obekväma tillsammans med, mot modell för att ifrågasätta någon annans koncept samt be denne för att motivera sitt påstående. dem kunna även stödja eleverna sålunda för att dem vågar dela tillsammans sig från sina egna ibland ofullständiga idéer.

vid sålunda vis förmå läraren – genom för att artikel klar tillsammans med vilket liksom gäller inom utforskande konversation – stödja studenter likt från olika skäl känner motstånd mot för att delta (Parks, ).

I enstaka från studierna följs ett pedagog likt tillsammans tillsammans med ett vetenskapsman arbetar till för att etablera normer på grund av utforskande konversation inom matematikklassrummet (Hunter, ).

inom studien beskrivs vilket läraren utför på grund av för att ett fåtal mot stånd ett förändring från rådande sociala normer, samt hur samtalen förändras beneath enstaka tremånadersperiod. Eleverna samtalar om inledningsvis ej sålunda många, varken inom helklass alternativt inom assemblage. inom dem fall dem uttrycker sina idéer existerar dem mer inriktade vid för att försvara dem än för att samarbeta samt försöka producera ett gemensam medvetande.

dem på grund av alltså enstaka form eller gestalt från disputerande diskussion. liksom en inledande steg mot förändring från samtalen försöker läraren ett fåtal eleverna för att resonera tillsammans inom mindre grupper. Läraren ger eleverna inom övning för att tillsammans producera enstaka matematisk förklaring likt samtliga inom gruppen förstår samt kunna förklara.

dem uppmanas inledningsvis för att diskutera sina lösningsförslag inom gruppen. Läraren ger modell vid hur dem är kapabel agera.

Läraren: Ni måste hjälpas åt samt ni måste förstå, samtliga inom gruppen behöver förstå strategin. detta duger ej ifall detta bara existerar enstaka individ … ni måste försöka hjälpa resten från gruppen för att förstå det.

Ruby: Man måste fråga ifall man ej förstår.

Läraren: noggrann, sitt ej bara var samt hoppas vid för att andra bör förklara på grund av dig.

ni måste egen ställa frågor.

(Hunter, , s. )

Läraren betonar för att aktivt lyssnande existerar viktigt genom för att förklara vad detta innebär: Er arbetsuppgift existerar för att verkligen tänka vid vilket andra studenter säger samt tänka ovan angående ni håller tillsammans alternativt inte.

Läraren förstärker även dem elevbeteenden såsom ligger inom linje tillsammans med dem normer liksom denna önskar etablera (Hunter, ), mot modell då denna uppmärksammar övriga studenter vid enstaka student, Josies, beteende, samt lyfter fram detta positiva inom för att ta ansvar vilket grupp: tackar Josie till för att ni hjälper mot för att förklara.

Ser ni vilket denna gjorde? detta existerar vad jag menar, ta hjälp samt stöd ifrån gruppen.

Studien visar hur elevernas samtalsmönster successivt förändras (Hunter, ). Den inledande förändringen innebär bland annat för att disputerande konversation blir mindre vanliga. ännu tenderar eleverna dock för att okritiskt acceptera varandras resonemang. Eleverna på grund av alltså enstaka struktur från kumulativa diskussion, exempelvis ber dem ej sina klasskamrater för att motivera samt argumentera till sina idéer.

detta illustreras inom nästa modell var eleverna Heath samt Sangeeta föreslår olika strategier till för att åtgärda uppgiften, dock var skillnader samt likheter mellan strategierna ej utforskas.

Elever besitter fått mot arbetsuppgift för att räkna ut hur många dem måste spara till för att köpa ett t­-shirt liksom kostar 17 dollar.

dem äger redan nio dollar.

Heath: eftersom detta existerar nio sålunda kunna ni bara addera upp mot tio, samt sen måste ni lägga mot sju samt således tar ni försvunnen en igen samt plussar vid den vid sju därför för att ni får åtta.

Sangeeta: en annat sätt ni förmå utföra detta vid existerar … ni är kapabel dra försvunnen en ifrån sju samt lägga mot samt vid därför sätt sålunda får ni tio, en tiotal, samt sen …

Ruby: samt vid således sätt ser ni hur många likt behövs till för att ett fåtal sjutton.

(Hunter, , s.

)

För för att erhålla eleverna för att bedömande undersöka varandras resonemang ger läraren modell vid vilket eleverna förmå yttra då dem ej håller tillsammans med angående ett förklaring likt ges från enstaka ytterligare elev.

Lärare: vad sker angående ni ej kommer överens?

Mike: angående oss ej kommer överens sålunda fråga varför … varför gjorde ni därför där?

Lärare: Ni förmå säga: Jag existerar ej trygg vid detta var, jag existerar ej övertygad ifall den var delen.

förmå ni övertyga mig?

(Hunter, , s. )

Ett dialogutdrag ifrån slutet från tremånadersperioden illustrerar hur samtalen förändrats sålunda för att eleverna för tillfället ej bara accepterar andra elevers påståenden, utan även ber dem motivera dem (Hunter, ). Eleverna inom exemplet samtalar om enstaka arbetsuppgift såsom handlar ifall för att hitta en mönster inom antalet personer vilket kunna sitta nära en möbel, då en, tre alternativt fem arbetsyta läggs mot.

Notera Josies krav vid argument till den svar Heath föreslår.

Heath: ni lägger mot tre mot varenda matbord samt sen gäller detta för att plussa vid två.

Josie: Varför existerar detta ej fem plus fem?

En ytterligare skola [Matthew] engagerar sig idag till för att gemensamt förbättra förklaringen samt motivera den.

Josie fortsätter för att efterfråga motivering.

Matthew: [pekar vid modellen] eftersom ni ej är kapabel sätta någon var. Josie: dock varenda matbord bör behärska ta fem personer.

Heath: Ja, dock nära en möbel existerar detta fem, detta börjar tillsammans fem samt sen får man …

Hayden: ni förmå ju ej sätta någon mitt inom bordet.

dem är kapabel ej sitta denna plats [pekar vid mitten från modellen] eftersom dem skulle sitta vid bordet … dem vid kanten måste ständigt flytta ut.

(Hunter, , s. )

Även enstaka ytterligare lärande beskriver hur läraren utför till för att etablera normer till utforskande konversation inom enstaka klass, samt hur samtalen förändras ovan period (Makar , ).

Studien pågår beneath en halvår. Läraren fokuserar vid för att etablera normer liksom innebär för att eleverna

• lyssnar aktivt
• motiverar samt redogör till sina klasskamrater
• tar lärda risker, mot modell delar tillsammans med sig från ofullständiga idéer
• bygger vid varandras idéer.

En plan vilket läraren inom studien använder existerar för att notera upp vad liksom karakteriserar den typ från gemensamma resonemang såsom denna önskar äga inom sitt undervisningsrum vid affischer liksom sedan sätts upp inom klassrummet.

ett från affischerna anger lärarens förväntningar vid elevernas roller inom dem gemensamma resonemangen:

• Aktiva lyssnare (reflektera ovan andras idéer)
• Tydliga talare likt går för att höra
• Aktiva deltagare (att studenter bidrar)

En ytterligare plakat anger lärarens förväntningar vid elevernas samarbete:

• Det existerar möjligt för att nyttja mer än enstaka teknik samt ändå nå enstaka konklusion
• Alla idéer samt åsikter existerar viktiga
• Alla förväntas tänka
• Idéer ifrågasätts alternativt utmanas respektfullt
• (Makar , , s.

  )

Läraren refererar då samt då mot detta liksom står vid affischerna på grund av för att förstärka elevers beteenden. inom ett samtal talar läraren angående detta: Förstärka, bekräfta samt bedöma … då ni faktiskt ser bevis vid detta – ifall ni önskar äga enstaka sådan klassrumskultur, därför belönar ni detta [beteendet].

Vi bör ge numeriskt värde modell vid elevdialoger ifrån inledningen från identisk lärande (Makar , ).

dem illustrerar för att ett sektion studenter agerar i enlighet med dem normer vilket läraren avser för att etablera, samt andra ej. detta inledande exemplet existerar ett dialog mellan Bill samt Chloe, vilka resonerar i enlighet med normen förklara samt motivera påståenden. Bill motiverar inledningsvis sin förklaring samt Chloe kunde äga nöjt sig tillsammans för att hålla tillsammans, dock denna uppmanar Bill för att motivera sin förklaring ytterligare.

då Bill ej fullfölja detta sålunda redogör samt motiverar denna sitt svar.

Bill: Gräshoppan vann eftersom enstaka tredjedel existerar mer samt större än ett fjärdedel.

Chloe: [riktar sig mot Bill] Kan ni bevisa det? [Bill tvekar sålunda Chloe börjar.] Okej, jag skrev för att enstaka tredjedel existerar större än ett fjärdedel.

Jag ritade ett foto samt sen [hon pekar vid sin teckning] var existerar detta ett fjärdedel, den existerar mindre eftersom den ej existerar lika massiv. Sen skrev jag vid tallinjen , samt jag ritade även ett [bråk] skiljevägg …

Bill: detta existerar god, god. Jag måste notera från några idéer.

(Makar , , s.

)

Det andra exemplet visar för att normerna ej anammats från samtliga studenter inom klassen. Shane agerar i enlighet med normen för att förklara sitt svar, dock hans mening ”så fanns oss klara” antyder för att denne ej existerar intresserad från för att lyssna Ellas förklaring.

Shane: Sen skrev jag för att gräshoppan hoppar ett tredjedel varenda gång sålunda den behöver bara hoppa 12 gånger.

Skalbaggen måste hoppa 15 gånger (sic) samt sen ritade jag gräshoppan samt hur den äger, hmm, tre fjärdedelar, jag menar tre tredjedelar. samt sen skalbaggen. Jag skrev för att den ägde enstaka fjärdedel.

Ella: Jag gillar verkligen …

Shane: [avbryter] – samt sålunda skrev jag för att gräshoppan skulle vinna.

Ella: Jag gillar verkligen all kunskap ni ger.

Shane: Mmm, samt sålunda plats oss klara!

(Makar , , s. )

Läraren inom studien rör sig mellan elevgrupperna samt ger stöd nära behov. Ibland påminner denna eleverna ifall för att varenda inom gruppen förväntas bidra. från studien framgår för att förändringen från normer tar tidsperiod samt kräver kontinuerligt stöd, eleverna behöver ständigt påminnas ifall förväntningarna vid deras deltagande.

Från identisk undersökning får oss även modell vid hur pedagog genom uttalade förväntningar vid elevers beteenden legitimerar samt stödjer beteenden liksom studenter annars förmå uppleva sig obekväma tillsammans med (Makar , ).

detta handlar bland annat angående för att eleverna förväntas be sina klasskamrater motivera sina påstående alternativt lösningsstrategier, vilket ej existerar en typiskt beteende inom matematikklassrum. Läraren exemplifierar förväntade beteenden genom för att formulera en antal problem att diskutera likt eleverna är kapabel ställa mot varandra:

• Tänkte ni vid …?
• Jag håller med/håller ej med.
• Bygg vidare vid denna idé.
• Berätta mer ifall …
• Kan ni bevisa detta på grund av oss?
• Dina bevis …
• Vad övertygade dig ifall för att detta fanns svaret?
• (Makar , , s.

  )

Dessa ämnen samt påståenden skrivs ner vid en blad vilket klistras in inom elevernas skrivböcker. Läraren refererar sedan mot dem nära flera tillfällen beneath arbetets gång. Forskarna konstaterar för att elevernas försök för att nyttja dessa inledningsvis existerar lite trevande samt stela, dock frågorna samt påståendena ändå tjänar viktiga syften: dem talar ifall på grund av eleverna då samt hur dem förmå bidra mot dem gemensamma resonemangen.

vid därför vis 1) får eleverna hjälp för att anlända igång tillsammans med för att samtala, 2) legitimerar dem elevernas, respektfulla, ifrågasättande från klasskamraternas idéer, samt 3) etablerar dem ett förväntan samt därmed ett acceptans hos eleverna för att själva ett fåtal sina idéer ifrågasatta.

Hittills äger oss gett modell vid hur läraren är kapabel synliggöra önskvärda beteenden genom för att exemplifiera samt förstärka beteenden.

ett ytterligare plan tillsammans identisk avsikt existerar för att läraren omformulerar elevernas beskrivningar från enstaka dialogsituation (Makar , ). inom nedanstående extrakt ber läraren ett skola, Bill, förklara hur denne samt hans klasskamrat gick tillväga inom deras gemensamma resonemang. denna omformulerar sedan Bills redogörelse samt benämner detta aktivt lyssnande.

Lärarens omformulering syftar mot för att förbättra samt utveckla elevens förmåga för att förklara dem normer läraren försöker etablera inom klassrummet.

Läraren: inom solens tid plats detta numeriskt värde alternativt tre grupper liksom gjorde en utmärkt arbete inom gemensamma resonemang. således grattis mot dessa sex personer.

inom själva verket fanns detta något Bill gjorde [vänder sig mot Bill], skulle ni behärska dela tillsammans dig mot varenda. vilket gjorde ni samt din kamrat beneath dem gemensamma samtalen?

Bill: oss satt bredvid varandra samt hm, detta ger dig ett förbättrad koncept ifall vad detta handlar om.

Läraren: Ja, därför dem delade tillsammans sig.

inom stället på grund av för att Bill sitter mittemot sin partner sålunda satt dem blad nära blad … således då Jonah läste kunde Bill lyssna vilket han sade, samt denne kunde även titta vad han sade. därför denne lyssnade aktivt, han tog varenda situation inom akt för att ifrågasätta vilket Jonah sade samt fanns enstaka energisk deltagare.

(Makar , , s.

)

Som tidigare beskrivits sålunda innebär deltagande inom utforskande konversation för att eleverna delar tillsammans med sig från sina idéer, även ofullständiga. Eleverna kunna vid sålunda vis bygga vidare vid varan­ dras idéer, samt eventuellt felaktiga lösningar förmå fördjupa dem gemensamma matematiska resonemangen (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ).

för att dela tillsammans med sig från idéer vilket man ej känner sig riktigt trygg vid existerar dock enstaka form eller gestalt från intellektuellt risktagande samt något studenter är kapabel tveka inför. Detta visar sig även inom studien närmast ovan, var eleverna efter flera månaders jobb ännu kämpar tillsammans med dem normer liksom handlar ifall för att dela tillsammans med sig från sina ibland ofullständiga idéer (Makar , ).

Följande extrakt illustrerar lärarens jobb tillsammans med för att förbättra normer till för att dela tillsammans sig från sina idéer samt bygga vidare vid dem (Makar , ).

Eleverna äger fått mot arbetsuppgift för att reflektera ut den bästa vägen till enstaka vandrande skolbuss. enstaka vandrande skolbuss innebär för att ungar går tillsammans tillsammans sina kompisar mot skolan, beneath uppsyn från ett myndig. Läraren använder enstaka elevs, Chloes, förslag liksom utgångspunkt på grund av diskussionen samt illustrerar inom sitt sätt för att leda diskussionen hur man är kapabel bygga vid varandras idéer.

Chloe besitter inom sitt förslag delat in eleverna inom numeriskt värde grupper: dem såsom bor mindre än fem kilometer ifrån skolan samt dem vilket bor längre försvunnen ifrån skolan än fem kilometer. Läraren frågar kurera klassen angående denna plan är kapabel ge svaret vid frågan.

Lärare: Vilket existerar detta typiska avståndet ifrån skolan vilket studenter [i denna klass] bor på?

ifall oss tittar vid hur Chloe äger strukturerat våra fakta, kunna oss då svara vid frågan?

Chloe ser dock egen en bekymmer tillsammans med strategin. ett ytterligare student, Jinny, föreslår för att dem delar in eleverna inom mindre grupper.

Chloe: Ja. [paus] ej precis.

Lärare: ifall jag frågar människor hur långt ifrån skolan dem bor, vad kunna jag förvänta mig för att ett fåtal på grund av svar efter vad oss besitter sett här?

Jinny: oss möjligen förmå utföra grupper på grund av varenda meter.

ifall oss äger varenda tillsammans således blir detta svårare för att organisera.

Läraren lyfter då upp Jinnys förslag samt ber övriga studenter tänka ovan det.

Läraren: (…) dock Jinny säger för att oss är kapabel ge en förbättrad svar. Jinny önskar för att oss utför svaret förbättrad genom för att utföra vad?

(Makar , , s–)

Läraren använder alltså Chloes samt Jinnys förslag samt ber klassen bygga vidare vid dem (Makar , ).

Eleverna uppmanas för att tänka ovan dem olika förslagen samt motivera sina idéer. Forskarna menar för att läraren vid därför vis värdesätter Chloes samt Jinnys bidrag samt skapar enstaka miljö var eleverna uppmuntras för att resonera utan för att bekymra sig angående om deras svar existerar korrekt alternativt fel. Denna inbjudan mot för att tänka högt uppmuntrar eleverna för att våga dela tillsammans sig även från ofullständiga idéer.

Avslutningsvis, enstaka lärande vilket visar hur läraren får eleverna för att delta aktivt inom utforskande konversation genom enstaka struktur från rollövning (Elbers, ).

Läraren ger eleverna samt sig egen rollen likt vetenskapsman. varenda undervisning inleds tillsammans lärarens uppmaning: oss existerar vetenskapsman. Låt oss forska! Rollen liksom vetenskapsman innebär till eleverna för att dem får ansvar på grund av för att åtgärda uppgifterna tillsammans; dem förmå ej förlita sig vid läraren. Eleverna uppmuntras för att ställa problem att diskutera samt samarbeta på grund av för att hitta svar vid dem.

Detta rollövning utför, i enlighet med forskarna, för att eleverna utvecklar nya samtalsmönster. Eleverna föreslår nya idéer samt utforskar samt utvärderar dem vid en sätt vilket fullfölja för att flera studenter förmå såväl bidra liksom tillägna sig detta likt andra studenter redan besitter upptäckt.

Lektionen såsom redovisas inom studien existerar ett från flera därför kallade experimentlektioner likt utformas inom samarbete mellan enstaka pedagog samt vetenskapsman (Elbers, ).

Den genomförs enstaka gång inom veckan beneath enstaka fyramånadersperiod, inom ramen på grund av ett annars traditionell under­ visning. Forskarna menar för att övergången ifrån detta bekanta undervisningssammanhanget mot denna nya situation – var dem förväntades existera vetenskapsman – innebar enstaka viss hårt arbete på grund av eleverna.

dem beskriver för att detta plats många identitetsrelaterade diskussion bland eleverna ifall deras nya ansvar likt medlemmar inom ett undersökande gemenskap.

Att producera förutsättningar till diskussion vilket rör själva matematiken

Utforskande konversation innebär, liksom oss besitter konstaterat tidigare, bland annat för att eleverna redogör samt jämför olika matematiska lösningar.

dock några från studierna liksom ingår inom översikten visar för att detta existerar möjligt på grund av studenter för att utföra detta utan för att dem på grund av den skull faktiskt samtalar om matematik (Kazemi & Stipek, ; McCrone, ). dem förmå mot modell förklara hur dem gick mot väga, steg på grund av steg, då dem löste ett arbetsuppgift, samt vid således vis förklara samt jämföra sina respektive lösningar.

dock således länge fokus existerar vid dem procedurella aspekterna tas ej tillfället inom akt för att diskutera matematiskt vid en djupare plan.

Kazemi samt Stipek () jämför dialogerna inom fyra olika matematikklassrum. dem konstaterar för att inom varenda klassrummen tycks liknande normer råda vilket existerar utmärkande till utforskande samtal: eleverna redogör samt delar lösningsstrategier, elevers felsvar accepteras såsom enstaka sektion från praktiken, eleverna samarbetar, samt arbetet leds från enstaka positivt stödjande pedagog.

dock närmare analyser visar viktiga skillnader inom kvaliteten vid samtalen inom dem olika klassrummen. inom samtliga undervisningsrum förs visserligen gemensamma resonemang, dock dessa resonemang rör ej ständigt själva matematiken. inom dem undervisningsrum var resonemangen faktiskt utför detta råder – utöver gynnsamma sociala normer – vissa sociomatematiska normer.

Kazemi samt Stipek () menar för att dem sociala normer likt tidigare äger beskrivits existerar nödvändiga, dock ej tillräckliga, på grund av för att eleverna bör engagera sig inom matematiken vid en djupare program.

dem sociomatematiska normer likt dem menar stödjer elevernas matematiska engagemang samt begreppsliga tillväxt är:

• En förklaring består från en matematiskt argument, ej bara enstaka procedurell beskrivning.
• Matematiskt tänkande innefattar för att förstå relationer mellan strategier.
• Felsvar ger tillfälle mot för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt utforska alternativa strategier.
• Samarbete innefattar individuellt ansvar samt för att komma överens genom matematisk argumentation.

(Kazemi & Stipek, , s)

I detta nästa beskriver oss specifika lärarhandlingar såsom syftar mot för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken.

dem flesta resultaten likt gäller dem handlingar vilket syftar mot för att eleverna motiverar, jämför samt utvärderar olika matematiska idéer återfinns inom studierna från Cengiz samt kollegor () respektive Kazemi samt Stipek (). dem visar upp liknande effekt, dock använder olika term inom sina analyser från resultaten. Kazemi samt Stipek utgår framför allt ifrån dem sociomatematiska normer liksom råder då eleverna engageras inom matematiken, medan Cengiz samt kollegor utgår ifrån en annat term vilket dem introducerar, nämligen vidgande episoder (extending episodes).

Vidgande episoder avser tillfällen inom dialogerna såsom inbegriper den typ från matematisk reflektion samt matematiska resonemang liksom i enlighet med Cengiz samt kollegor kunna vidga elevernas matematiska förståelse.

Dessa term existerar kopplade mot varandra såtillvida för att man kunna yttra för att ovanstående sociomatematiska normer sängar till vidgande episoder.

Forskarna inom dem båda studierna identifierar samt benämner lärarhandlingar vilket är kapabel bidra mot detta. detta rör sig angående lärarhandlingar liksom syftar mot för att eleverna

• motiverar, jämför samt utvärderar påståenden samt lösningsstrategier
• tar ansvar till kurera gruppens förståelse
• når enighet genom argumentation
• föreslår andra sätt för att tänka samt åtgärda problem
• söker mönster på grund av för att behärska generalisera.

Att erhålla eleverna för att motivera påståenden samt lösningsstrategier

En metod liksom pedagog inom studierna använder till för att rikta elevernas uppmärksamhet mot matematiken existerar för att be dem motivera dem matematiska idéer såsom eleverna själva, andra studenter alternativt läraren uttrycker.

modell vid problem att diskutera likt lärarna ställer är: vilket får dig för att yttra så?, Hur vet ni det? samt Varför antar ni det? (Cengiz , ).

Cengiz samt kollegor () visar mot modell hur ett pedagog tillsammans med upprepade varför-frågor får eleverna för att koppla samman en enskilt steg inom ett lösningsstrategi tillsammans med detta matematiska problemets kontext samt innebörd.

Detta existerar alltså en modell vid detta likt Cengiz samt kollegor kallar enstaka vidgande episod inom dialogen. Den övning samtalet handlar angående existerar följande:

I ett park fanns detta 69 duvor. då ett tamhund gick förbi således flög 47 från duvorna iväg. Hur flera duvor fanns sedan kvar inom parken?

(Cengiz , , s.

)

Eleverna löser inledningsvis uppgiften individuellt samt redovisar den sedan vid tavlan. Läraren noterar då dem olika lösningarna (Cengiz , ). Flera studenter löser uppgiften genom för att bara nyttja subtraktion: 69 – 40 = 29 samt 29 – 7 = Några studenter använder dock både subtraktion samt addition inom sina lösningar: 60 – 40 = 20, 9 – 7 = 2, 20 + 2 = för att en anförande liksom handlar angående för att dra ifrån även är kapabel innehålla addition är kapabel upplevas motsägelsefullt till studenter, samt detta önskar läraren ett fåtal eleverna för att resonera angående.

en indikator vid för att detta är kapabel artikel svårt på grund av studenter existerar för att några från dem eleverna inom klassen vilket använder den plan såsom förutsätter addition inom detta sista steget ej adderar utan subtraherar även inom detta sista steget, samt då får detta felaktiga svaret arton.

I den efterföljande dialogen inom helklass önskar läraren ett fåtal eleverna för att motivera varför talen 20 samt 2 adderas snarare än subtraheras (Cengiz , ).

Läraren fokuserar vid vad detta innebär för att förbättra en matematiskt argument till ett lösningsstrategi. Läraren existerar ej tillfreds tillsammans ett elevs argument: för att lösningsstrategin ej skulle ge korrekt svar (Marcus), utan fortsätter för att efterfråga argument på grund av för att addera 2 samt 20 genom för att ställa upprepade varför-frågor.

Läraren: Vem kunna informera på grund av mig varför denne adderade inom stället på grund av för att subtrahera?

Marcus: till för att denne ej ville erhålla fel svar?

Läraren: dock denne kunde ej känna till, denne kunde ej känna till för att detta plats fel svar.

Elev: eftersom detta ej verkade rimligt?

Läraren: Varför verkade detta ej rimligt?

De olika svaren på öppna frågor kan exempelvis representera skilda synsätt, såsom alternativa lösningsstrategier på ett problem

vad existerar detta likt ej existerar rimligt tillsammans med det? Pojkar samt flickor, jag önskar för att ni berättar till mig varför han adderade.

Elev: eftersom dem existerar dem numeriskt värde svaren han fick då han drog ifrån.

Läraren: dock han ägde kunnat yttra 20 minus 2 existerar lika tillsammans med detta skulle även existera dem numeriskt värde svaren samt denne ägde subtraherat.

Jag önskar för att ni tittar vid vilket Jenny gjorde. denna subtraherade tiotalen. alternativt hur? samt hur flera fick denna kvar?

Elev:

Läraren: Sedan subtraherade denna ettorna. Jenny, varför lade ni samman dessa?

Jenny: eftersom detta fanns dem siffror liksom fanns kvar.

(Cengiz , , s.

)

Som framgår inom utdraget avslutas dialogen utan för att detta sista steget inom lösningen motiveras mot fullkomligt. Cengiz samt kollegor menar dock för att dialogen ändå fyller år sitt avsikt, nämligen för att erhålla eleverna för att resonera matematiskt samt vid därför vis förbättra sin medvetande inom ämnet.

I dialogutdraget ovan ger sig ej läraren inom inledande taget.

för att läraren framhärdar inom sina uppmaningar mot eleverna för att motivera lösningar samt påståenden matematiskt lyfts fram likt ett betydelsefull aspekt från lärarens agerande även inom Kazemi samt Stipeks undersökning (). detta ser oss inom en modell var eleverna besitter mot övning för att dela fyra kakor mellan sex kråkor. numeriskt värde studenter, Luis samt Chris, besitter delat tre från kakorna inom halvor samt den återstående kakan inom sex delar.

varenda kråka får alltså 1/2 + 1/6 = ⁴/6 . inom inledande steget illustrerar eleverna sin svar tillsammans tre kvadrater (kakor) likt delas inom halvor samt enstaka liksom delas inom sjättedelar, samt inom nästa steg skuggar dem delar från numeriskt värde andra kvadrater liksom visar hur många bakelse varenda kråka får samt visar vid således vis för att 1/2 plus 1/6 existerar likvärdigt tillsammans ⁴/6 (Kazemi & Stipek, , s.

66).

Dialogen likt sedan följer illustrerar den sociomatematiska normen en förklaring innefattar en matematiskt argument (Kazemi & Stipek, ). Eleverna existerar inledningsvis fokuserade vid procedurella aspekter, dock genom upprepade ämnen får läraren mot slut eleverna för att fokusera vid begreppet likvärdighet samt hur detta relaterar mot addition från bråktalen.

Läraren startar dialogen tillsammans för att inbjuda övriga studenter för att kommentera skissen.

ett skola startar tillsammans för att yttra för att skissen ger enstaka klar bild från detta Chris samt Luis önskar visa. Läraren nöjer sig ej tillsammans detta svaret, utan ber eleverna specificera vilket elevernas skiss visar: vad ville dem för att ni skulle se? identisk skola svarar för att den visar hur Chris samt Luis adderade talen. Läraren existerar kvar ej tillfreds samt ber eleverna mer särskilt fokusera dem delarna såsom existerar skuggade samt hur dem förhåller sig mot varandra.

ett skola använder då detta matematiska begreppet likvärdighet på grund av för att förklara vilket skissen illustrerar.

Läraren: vilket kunna ni informera till mig angående deras teckningar liksom bör visa för att 1/2 plus 1/6 existerar lika tillsammans med ⁴/6?

Sam: dem existerar väldigt tydliga, man är kapabel titta noggrann vilket dem ville för att oss skulle se.

Läraren: Vad ville dem för att ni skulle se?

Sam: Hur dem adderade 1/2 samt 1/6.

Läraren: samt vad ser du angående additionen från 1/2 samt 1/6?

Carrie: dem skuggade dem.

Läraren: Okej, dem skuggade dem. vilket lägger ni symbol mot angående delarna liksom existerar skuggade? 1/2 plus 1/6 samt ⁴/6? Ser ni något? Nej [väntar.] Jamie, ni höll upp handen, vad ser du?

Jamie: Den inledande delen existerar detsamma vilket detta inledande steget, den visar 1/2 samt 1/6.

dem delade upp 1/2 inom sjättedelar samt fick tre sjättedelar. dem la ihop ⁴/6 samt 1/2. dem gjorde en likvärdigt bråktal. Den inledande delen existerar detsamma likt detta inledande steget, samt den andra delen existerar detsamma såsom detta andra steget [visar] hur många varenda kråka fick.

Sam: varenda delarna dem gjorde existerar lika stora samt [de visade] stegen dem tog till för att lägga mot den delen.

(Kazemi & Stipek, , s.

66)

Som kontrast mot ovanstående bör oss idag ta en modell ifrån identisk undersökning liksom illustrerar ett dialog inom vilken eleverna ej resonerar matematiskt (Kazemi & Stipek, ). Eleverna svarar korrekt samt dem uppmanas för att förklara sin svar. dem utför detta genom för att förklara dem steg dem äger tagit till för att nå fram mot svaret.

dem ger alltså enstaka procedurell skildring samt berättar ifall hur dem gjorde, dock ej varför. Läraren nöjer sig tillsammans med detta samt ber ej eleverna motivera varför dem gjorde vilket dem gjorde. inom stället frågar läraren dem övriga eleverna angående dem håller tillsammans alternativt inte.

Läraren: Okej, skulle ni vilja förklara till oss vad … Raymond: fanns samt ett får ett, samt således ger jag dem enstaka halv.

Ms Andrew: sålunda hur många får varenda person?

Raymond: enstaka samt 1/2. Läraren: 1/2?

Raymond: Nej, enstaka samt 1/2.

Läraren: därför, vad ni säger existerar för att varenda får ett samt 1/2. Verkar detta stämma? [Kör från JAAA ifrån eleverna.

Läraren går vidare mot enstaka färsk uppgift.]

(Kazemi & Stipek, , s. 68–69)

Läraren inom ovanstående extrakt ber övriga studenter kontrollera en svar vid en omfattande samt ytligt sätt genom en ja-/nej­svar, vilket visade sig existera en typiskt beteende på grund av lärarna inom dem klasser var eleverna ej engagerades inom matematiken.

Den sociomatematiska normen enstaka förklaring innefattar en matematiskt argument kom ej mot formulering inom dessa undervisningsrum, vilket innebar för att samtalen ej handlade ifall matematik vid en djupare plan.

Två utsagor ifrån läraren inom enstaka från dessa numeriskt värde klasser antyder för att en skäl mot för att läraren ej ställer krav vid eleverna för att motivera sina lösningar existerar för att läraren tror för att detta förmå artikel till svårt till eleverna.

Läraren säger mot ett elev: Hur vet ni det? förmå ni bevisa detta till mig? Kräver jag på grund av mycket? samt mot enstaka ytterligare elev: Skulle ni äga kunnat hitta en sätt för att sammanföra dessa på grund av för att ett fåtal en tal? alternativt skulle detta gjort för att ni ägde fastnat?

Att erhålla eleverna för att jämföra olika lösningsstrategier

En ytterligare lärarhandling likt syftar mot för att engagera eleverna inom matematiken existerar för att be dem jämföra olika lösningar.

pedagog förmå ställa frågan: vilket gjorde dem andra vilket skiljer sig ifrån vad ni gjorde? Denna papper får oss modell vid inom enstaka dialog, enstaka vidgande episod, likt handlar angående för att fördela spelkort (Kazemi & Stipek, , s. ):

Det existerar tre högar tillsammans med 52 betalkort inom varenda vilket bör delas mellan sex personer.

Hur flera kreditkort får varenda person?

De flesta eleverna löser uppgiften genom för att lägga ihop antalet begränsad inom dem tre högarna (52 x 3 = ) samt dela tillsammans 6 [personer], vilket blir dock enstaka student, Ryan, använder enstaka ytterligare lösningsstrategi samt delar inom stället 52 tillsammans 2. Läraren ber eleverna jämföra denna lösningsstrategi tillsammans den egna.

Forskarna menar för att eleverna genom jämförelsen från lösningsstrategier ges chans för att titta den primär matematiska strukturen (Kazemi & Stipek, ).

detta önskar yttra för att sex personer vilket delar vid tre högar tillsammans med kreditkort innebär för att enstaka tredjedel från personerna (två personer) kommer för att erhålla enstaka tredjedel från korten (en upphöjd tillsammans 52 kort).

Open-ended questions (OEQ) är utmanande för alla oavsett nivå och de kan individualisera undervisningen

Detta existerar egentligen detsamma såsom 3x delat tillsammans med 6, vilket existerar lika tillsammans med x delat tillsammans 2.

Som framgår inom utdraget nedan behöver läraren upprepa sin fråga flera gånger samt även specificera den innan ett skola, Gail, mot slut svarar vid frågan samt beskriver den matematiska struktur liksom ligger mot bas på grund av Ryans lösning.

Läraren: Varför tror ni för att han använder dem talen inom stället på grund av för att för­ söka räkna ut hur flera betalkort denne måste dela ut totalt?

[paus] slang för mikrofon, vad tror du?

Mike: ej säker.

Läraren: ej trygg. Vilken typ från koncept kunna Ryan äga haft? vilket tror ni Kelly?

Kelly: Jag existerar ej säker.

Läraren: Okej. Min fråga är: måste man räkna ut hur flera vykort detta existerar inom samtliga kortlekarna tillsammans innan man förmå åtgärda problemet?

Tror ni det? vad får er för att tro det?

Elev: på grund av för att angående ni äger 52 samt ni behöver dela detta vid sex [paus]. Läraren: Okej. Gail?

Gail: dock jag tror för att detta Ryan gjorde fanns till för att eftersom detta finns tre kortlekar således får numeriskt värde personer dela vid varenda kortlek.

numeriskt värde personer per upphöjd samt detta existerar tre högar, detta blir sex personer totalt.

Läraren: Hörde ni honom? Vem kunna upprepa vad Gail noggrann sade? dem möjligen ej hörde dig. är kapabel ni skrika ut det?

Gail: därför, Ryan tog numeriskt värde personer på grund av varenda kortlek eftersom detta existerar tre kortlekar, samt eftersom detta existerar numeriskt värde personer vid varenda kortlek, således blir detta numeriskt värde gånger tre existerar lika tillsammans sex personer.

Läraren: Hm, jag skulle vilja titta några bilder från detta vid väggen.

dock jag önskar ge er andra åtminstone fem minuter mot till för att jämföra denna teknik tillsammans den ni använde inom er grupp.

(Kazemi & Stipek, , s. )

Nästa modell illustrerar den sociomatematiska norm vilket säger för att jämförelser mellan strategier bör gälla matematiska skillnader samt likheter (Kazemi & Stipek, ).

Läraren inom studien ber eleverna uppmärksamma vilket liksom existerar unikt inom några elevers svar jämfört tillsammans deras egna lösningar. Eleverna uppmärksammar inledningsvis procedurella skillnader: för att dem använde steg. Läraren nöjer sig ej tillsammans detta svaret utan ber eleverna specificera hur stegen såg ut.

Eleverna uppmärksammar då matematiska skillnader mellan strategierna: dem delade upp dem inom sjättedelar.

Läraren: vilket använde alternativt gjorde dem likt skiljde sig ifrån vilket ni möjligen gjorde?

Jeff: dem använde steg.

Läraren: noggrann, dem delade upp detta stegvis.

dock detta plats vissa steg likt jag ej äger sett någon ytterligare nyttja inom klassrummet än.

Carl: dem summerade hur flera kakor detta fanns totalt. Läraren: Okej, således dem använde …

Jamie: dem delade upp dem inom sjättedelar, ett blev ovan samt då räknade dem ut hur dem skulle dela upp den rättvist sålunda för att samtliga kråkor fick sin beskärda del.

Läraren: detaljerad, samt detta fanns väldigt observant från dig för att lägga symbol mot.

då jag gick omkring inom klassrummet inom går lade jag symbol mot för att detta bara plats detta på denna plats paret likt använde ett divisions­ algoritm till för att att fatta beslut eller bestämma något för att detta plats ett hel bakelse plus ett bit över.

(Kazemi & Stipek, , s. 71)

Vi bör även förklara enstaka situation ifrån identisk lärande inom vilken läraren förlorar ett chans för att engagera eleverna inom matematikinnehållet (Kazemi & Stipek, ).

Elevernas övning existerar för att lägga ihop numeriskt värde bråktal: 11/2 samt 1 1/8. enstaka skola, Ron, föreslår lösningen 21/2 samt 1/8. Läraren existerar ej tillfreds tillsammans med detta svaret utan söker svaret 2 ⁵/8, detta önskar yttra en svar likt innebär för att dem numeriskt värde bråktalen läggs ihop mot en anförande. Rons svar existerar likvärdigt tillsammans med lärarens samt just likvärdiga bråktal stod inom fokus till undervisningen.

Läraren tar dock ej chansen för att diskutera detta utan konstaterar endast för att talen representerar identisk summa, dock för att Rons svar ej existerar uttryckt lika matematiskt likt detta svar läraren söker.

Att erhålla eleverna för att bedöma en påstående alternativt enstaka lösningsstrategi

I studierna ges modell vid hur pedagog engagerar eleverna inom matematiska resonemang genom för att be dem bedöma en påstående alternativt enstaka lösningsstrategi, tillsammans med problem att diskutera som: vilket tror du?, Håller ni med?, Tror ni för att detta existerar sant?

(Cengiz , ). enstaka sådan papper ser oss inom enstaka dialog var läraren ber eleverna reflektera ovan ifall dem existerar övertygade från enstaka elevs svar från enstaka uppgift.

Läraren: Jag önskar bara för att samtliga reflekterar ovan sitt eget utbildning samt jag önskar för att ni funderar vid angående ni existerar övertygade från vilket Susan sade?

[Läraren beskriver Susans svar från ett uppgift.] angående ni ej existerar övertygade därför existerar detta okej, ni är kapabel bara yttra mot. existerar någon ej övertygad?

(Hunter, , s. )

I utforskande diskussion existerar elevers idéer ett betydelsefull sektion från samtalen (Hunter, ; Kazemi & Stipek, ).

Exempelvis kunna elevers felsvar användas till för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt testa alternativa strategier. dem förmå vid sålunda vis producera ingångar mot ytterligare matematisk samtal vilket innefattar motivering samt verifiering.

Vi bör ta en modell vid hur enstaka pedagog använder några elevers felsvar på grund av för att fördjupa klassens engagemang inom matematiken (Kazemi & Stipek, ).

inom en konversation svarar numeriskt värde studenter fel, då dem påstår för att 6/8 samt 1 1/8 existerar likvärdiga. Eleverna hävdar för att båda talen kunna existera svaret vid 1/2 plus 5/8. denna plats kunde läraren äga nöjt sig tillsammans med för att förklara för att 6/8 samt 1 1/8 ej existerar likvärdiga. inom stället uppmuntrar läraren övriga studenter för att utforska felsvaret.

vid sålunda vis skapar denna chans på grund av bota klassen för att delta inom matematiska resonemang. Jessica existerar enstaka från dem likt får mot övning för att motivera sitt svar inom sin team samt denna debatterar bland annat genom för att visa för att en annat sätt för att notera för att 1 1/8 existerar ⁹/8. Läraren riktar sig inledningsvis mot bota klassen.

Läraren: Håller ni tillsammans med ifall båda svaren?

Elever: Nej.

Läraren: besitter ni något skäl mot för att ni ej håller med? Förklara ej på grund av mig, dock äger ni något skäl? Räck upp handen ifall ni besitter en skäl.

Sex personer räcker upp handen. Läraren riktar sig mot dem.

Läraren: Ni kommer erhålla ansvar på grund av för att förklara på grund av er samling varför ni ej håller med.

Läraren delar in klassen inom sex grupper samt fördelar dem sex eleverna inom grupper.

inom enstaka från grupperna redogör Jessica varför denna ej håller med.

Jessica: Jag tror ej för att detta existerar 6/8 på grund av enstaka mot åttandel skulle bli, typ … detta existerar 4/8 inom enstaka halv. således detta skulle ej vandra. [Hon fortsätter förklara.] detta förmå ej existera ⁶/8 eftersom … dem besitter 5/8 var uppe, kolla, samt denna plats finns detta ett, samt bara ett mer.

Carlos: enstaka mot halva blir ett hel.

Jessica: ett mot halva blir enstaka hel.

detta skulle ej bli således. Jag håller tillsammans med angående detta andra svaret.

James: 6/8 existerar rätt.

Jessica: 6/8 existerar ej korrekt. Kolla denna plats, var existerar 5/8. sålunda svaret vid den inledande frågan existerar 9/8 inom stället på grund av 6/8.

[Paus.] Vänta, ett fåtal titta … fem … ja. detta borde bara bli 9/8. [Läraren kommer fram mot gruppen.]

Läraren: vad kom ni fram mot inom er grupp?

Jessica: oss kom fram mot för att 6/8 ej fanns korrekt svar eftersom bara 1/8 kunde ge svaret 6/8 inom stället på grund av 1/2.

1/2 samt enstaka 1/2 existerar enstaka hel, således oss såg vid bilden för att 4/8 existerar lika tillsammans ett halv. därför 4/8 samt 5/8 existerar 9/8. [Läraren går iväg.]

(Kazemi & Stipek, , s. 73)

I nästa extrakt får oss modell vid detta motsatta, detta önskar yttra för att läraren ej tar chansen för att tillsammans tillsammans eleverna utforska deras felsvar (Kazemi & Stipek, ).

Eleverna Antonia samt Rachel äger lagt ihop talen 1/8 + 1/4 + 1/4 samt kommit fram mot svaret ³/ dem besitter alltså lagt ihop nämnare samt täljare plats till sig. denna plats ägde läraren kunnat nyttja elevernas felsvar likt ett tillfälle för att jämföra storleken vid dem olika talen samt be eleverna tänka ovan vad talen står på grund av.

dock istället ger läraren eleverna ledtråden för att talen inom nämnarna [fyra samt åtta] ej går för att lägga ihop, samt eleverna kommer då vid hur dem bör utföra. Både lärarens samt elevernas fokus ligger alltså vid själva proceduren, uträkningen, samt ej vid matematiken vid en djupare plan.

Lärare: Okej, detta existerar enstaka god gissning.

dock ni kunna ej addera den på denna plats 1/4 tillsammans den på denna plats 1/8 vid detta sättet. ni kunna ej bara lägga ihop den denna plats fyran samt den på denna plats åttan mot tolv.

Antonia: oss möjligen skulle behärska addera …

Rachel: Åhh, oss skulle behärska dela fjärdedelarna inom åttondelar.

Lärare: Lyssna idag, lyssna.

denna [hänvisar mot Rachel] besitter ett god koncept. [Går vidare mot nästa grupp.]

(Kazemi & Stipek, , s. 75)

Läraren är kapabel även stödja elevers engagemang inom matematiken genom för att överlåta mot eleverna för att kontrollera lösningen matematiskt, istället på grund av för att artikel den auktoritet vilket avgör angående ett svar existerar korrekt alternativt fel (Hufferd-­Ackles , ; McCrone, ).

McCrone () talar ifall detta liksom ett sociomatematisk norm samt beskriver hur den successivt etableras inom klassen beneath dem sex månader vilket studien pågår. Etableringen sker genom enstaka förhandling mellan pedagog samt studenter. enstaka sådan förhandling exemplifieras inom nedanstående dialogutdrag. Samtalet handlar angående numeriskt värde anförande såsom ställts upp på grund av för att subtraheras, samt ett student äger räknat ut detta genom för att låna en tiotal.

Dialogen existerar ifrån en situation några månader in inom studien.

Bethany: Hm, han använder talet 1 numeriskt värde gånger … till för att erhålla 12 (12 tiondelar) samt …

Läraren: Ser ni fanns ettorna är? Någon?

Bethany: samt då denne strök sjuan fick denne enstaka sexa, således han använde den enstaka gång.

således angående oss bör räkna sexan borde oss räkna ettan. [till läraren] dock jag existerar ej trygg vid ifall man beräknar den?

Nikki: Joo, denne använde samtliga talen dock jag tror ej för att ettan verkligen räknas. detta existerar ej riktigt ett etta. detta existerar mer vilket enstaka tia.

Läraren: OK …

Bethany: detta existerar vid något sätt upp mot läraren … ifall ni önskar acceptera sexan samt ettan, alternativt bara sexan, alternativt ingen alls.

Läraren: Så läraren bör fatta detta beslutet?

Bethany: Ja.

Läraren: Fattar jag detta beslutet då jag … ni skriver upp detta [på tavlan] samt jag säger: Ja, jag accepterar detta alternativt Nej, jag accepterar detta inte?

alternativt sker detta någon annanstans?

Bethany: Jag tror för att detta [att fatta beslut] sker någon annanstans … detta existerar vid något sätt lärarnas beslut angående dem önskar räkna problemet.

(McCrone, , s. )

Ett annat modell ifrån identisk forskning visar hur läraren låter eleverna ta ansvar på grund av för att kontrollera numeriskt värde elevers skilda lösningar (McCrone, , s.

). Eleverna heter Karen samt ledare. Dialogen inleds tillsammans med för att Karen frågar läraren ifall Amirs lösningsmetod existerar giltig eftersom han ej skrev ut den multiplikation likt ingick inom lösningen. Läraren ger ej svaret utan bekräftar endast Karens undran: således ni känner dig obekväm tillsammans för att denne ej visade multiplikationen?

andra studenter kommer in inom samtalet samt säger för att både Karen samt Amirs lösningar existerar giltiga. ett från dem säger: Jag tror för att Amirs teknik existerar okej. samt för att Karen utför likt Nikki sa för att man kunde utföra. Läraren avslutar lektionen genom för att be samtliga studenter nedteckna ner sina uppfattningar angående om Karens alternativt Amirs plan existerar giltig, alternativt angående dem uppfattar för att båda strategierna existerar giltiga.

Forskarna menar för att läraren vid således vis ger eleverna ansvar på grund av matematiken inom uppgiften.

Att erhålla varenda studenter för att ta ansvar till kurera gruppens medvetande samt försöka nå enighet genom matematisk argumentation

En ytterligare plan till för att erhålla elevers resonemang för att röra matematiken existerar för att läraren betonar detta individuella ansvaret inom gruppdiskussionerna.

tillsammans individuellt ansvar avses inom detta kontext för att varenda skola måste ta eget ansvar till för att förstå dem matematiska resonemangen likt förs inom gruppen (Kazemi & Stipek, ), dock även för att varenda student måste ta ansvar på grund av för att utföra sig förstådd samt till för att försöka erhålla dem andra för att förstå (Hunter, ).

detta räcker alltså ej tillsammans med för att någon alternativt några från eleverna förstår. enstaka pedagog uttrycker det: således ni måste försäkra er angående för att varenda individ förstår varenda sektion inom den process ni gått igenom.

Det tycks ej ständigt räcka tillsammans med för att läraren bara ger generella anvisningar ifall för att eleverna bör samarbeta, såsom: jobba tillsammans tillsammans ett kamrat!

alternativt Kom minnas för att jobba tillsammans! Detta framgår bland annat inom studien från Kazemi samt Stipek (). dem konstaterar för att inom vissa klasser fördelas arbetsbördan ojämt mellan eleverna, således mot vida för att detta bara existerar ett alternativt numeriskt värde studenter inom gruppen liksom pratar medan dem övriga eleverna tar ett mer perifer roll inom gruppdiskussionerna.

Detta trots lärarens uppmaningar ifall för att samarbeta. inom dessa klasser kommer alltså ej en individuellt ansvarstagande på grund av läka gruppen mot uttryck.

Elevernas engagemang inom matematiken supportas även från lärarens förväntningar vid dem för att försöka nå enighet genom matematisk argumentation (Kazemi & Stipek, ). inom nästa modell samtalar om läraren begreppet konsensus, enighet, tillsammans med eleverna, samt vad eleverna är kapabel utföra ifall detta visar sig för att dem existerar oeniga.

enstaka student äger strax innan oss kommer in inom dialogen frågat vilket begreppet betyder.

Läraren: Nja, konsensus existerar detta identisk såsom för att anlända överens. dem uppnår antingen konsensus alternativt enas angående ett svar. dock vilket sker angående dem ej förmå att nå ett mål eller resultat konsensus alternativt enas angående ett lösning?

vad tror ni för att dem gör?

Ricky: Försöker igen?

Läraren: dem får försöka igen. samt hur skulle dem behärska försöka igen samt förklara ett svar på grund av varandra. Julie?

Julie: Rita illustrationer från våra svar.

Läraren: Okej, ni skulle behärska nyttja illustrationer till för att visa vad ni tror för att lösningen vid problemet är.

Mark: Ni skulle båda numeriskt värde liksom behärska notera ner era svar samt jämföra, samt ifall ni båda besitter identisk svar sålunda förmå ni anta för att detta existerar alltså detta (rätta) svaret.

(Kazemi & Stipek, , s.

76–77)

Att ta individuellt ansvar samt försöka nå enighet genom matematisk argumentation existerar enstaka från dem sociomatematiska normer Kazemi samt Stipek fokuserar vid. identisk lärande ger modell vid hur dem studenter resonerar vilket tycks äga införlivat denna norm. detta visar sig vid därför vis för att dem existerar uppmärksamma vid varandras idéer.

Mark, exempelvis, svarar vid samtliga Keishas förslag samt bedömer ifall dem behöver tecknas ner. Eleverna samtalar om enstaka övning likt handlar angående för att fördela tre kakor vid sex kråkor.

Keisha: sålunda på denna plats förklarade jag detta. [Läser.] oss gjorde därför för att oss tog tre kakor samt delade dem inom halvor eftersom tre plus tre blir sex.

samt detta existerar sex kråkor.

Mark: detta på denna plats existerar vad jag besitter skrivit ner hittills. [Läser.] oss visste för att detta fanns tre kakor mot samt delade plats samt enstaka inom halvor. ett bakelse ägde numeriskt värde halvor, enstaka ytterligare bakelse ägde numeriskt värde halvor, samt (ännu) enstaka numeriskt värde halvor.

Keisha: Skriv bara samt varenda tre ägde numeriskt värde halvor.

samt varenda …

Mark: [Börjar skriva.] samt samtliga tre…, jag behöver ej nedteckna detta här.

Keisha: Okej, samt varenda kråka fick 1/2 samt … skriv bara 3 + 3 = 6 därför för att varenda kråka fick 1/2 från kakan.

Mark: Ja, dock dem denna plats existerar halvor.

[Räknar halvorna från varenda kaka.] 2,2. Keisha: Ja, jag vet. 1,2,3. [Räknar kakor.] Dela dem vid hälften, 1, 2, 3, 4,

5, 6. [Räknar halvor.] detta plats sex kråkor. varenda kråka fick 1/2.

Mark: [Skriver: varenda kråka fick ett halva.]

(Kazemi & Stipek, , s.

77)

Att ett fåtal eleverna för att föreslå andra sätt för att tänka samt åtgärda problem

I enstaka från studierna ser oss hur enstaka pedagog engagerar eleverna inom matematiken genom för att be dem föreslå olika alternativa sätt för att åtgärda en bekymmer (Elbers, ). Elevernas olika lösningsförslag blir ett sektion från undervisningen samt eleverna använder dem inom sina förklaringar.

I studien följer oss samtalen mellan enstaka pedagog samt 28 studenter inom ett klass beneath ett undervisning.

Läraren uppmanar eleverna för att föreslå olika sätt för att åtgärda en matematiskt bekymmer.

öppna frågor – Forskningsanknytning om elevers lärande i matematik Målsättning för projekten • Lärare ska få möjlighet arbeta med att utveckla sin matematikundervisning • Detta innebär att – stärka lärarnas förmåga att ta utgångspunkt i egen undervisning och erfarenhet – utveckla egen förmåga att ta fram och prova

Undervisningen växlar mellan grupparbete samt helklassdiskussioner. inom helklassdiskussionerna får eleverna ta sektion från varandras lösningsstrategier samt detta framgår för att eleverna anammar varandras strategier. vid sålunda vis utvecklar dem sin medvetande från matematiken. Eleverna arbetar tillsammans nästa uppgift:

En farmaceut förbereder läkemedel mot fröken Jansen i enlighet med läkare Sterks ordinering.

Fröken Jansen bör äga 40 tabletter i enlighet med följande:

6 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

5 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

4 tabletter angående dagen inom 2 dagar

3 tabletter angående dagen inom 2 dagar

2 tabletter ifall dagen inom 2 dagar

1 medicindos ifall dagen inom 2 dagar

Detta blir dock 42 tabletter sammantaget samt farmaceuten tänker för att läkare Sterk äger gjort en misstag.

besitter denne det?

(Elbers, , s. 83)

Fyra olika lösningsstrategier föreslås. till för att underlätta läsningen besitter lösningsstrategierna kursiverats inom nästa text.

I den inledande helklassdiskussionen föreslår ett skola (elev 1) för att man tar antalet tabletter per solens tid gånger numeriskt värde, samt sedan lägger ihop summorna, alltså 6 gånger 2, 5 gånger 2 osv.

samt sedan 12 + 10 + 8 osv. Läraren kommenterar för att detta existerar riktig, dock för att detta existerar ett omständlig väg för att vandra. Läraren frågar angående någon student besitter ett mer praktisk svar. enstaka ytterligare student (elev 2) föreslår då en enklare sätt för att lägga ihop summorna från dem multiplicerade talen.

Eleven fullfölja kombinationer från tio samt tjugo: 12 + 8 = 20, 6 + 4 = Då blir detta 20 + 10 + 2 =

Efter helklassdiskussionen skriver eleverna ner sina individuella lösningar vid ark. varenda studenter utom numeriskt värde löser då uppgiften vid identisk sätt likt student 1. dem numeriskt värde övriga eleverna använder ett färsk strategi: de lägger inledningsvis ihop antalet tabletter samt mångfaldigar summan tillsammans två, alltså inledningsvis 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1, samt sedan den summan gånger 2.

enstaka student vilket löst uppgiften vid detta sistnämnda sättet får redovisa sin svar på grund av dem andra eleverna inom den efterföljande helklassdiskussionen. Läraren berömmer eleven på grund av lösningen, dock lägger mot för att den förmå förbättras ytterligare.

Läraren introducerar sedan ett andra utgåva från problemet: eleverna bör börja tillsammans 8 tabletter inom stället på grund av 6.

Eleverna skriver inledningsvis ner sina lösningar individuellt vid material.

inom elevernas svar visar detta sig för att nitton studenter influerats från den föregående diskussionen samt använder strategin för att inledningsvis addera varenda tabletter samt sedan multiplicera den summan tillsammans 2, alltså sålunda såsom skola 2 gjorde inom den inledande helklassdiskussionen. nära adderingen från talen använder flera studenter strategin för att utföra kombinationer från 10, exempelvis 8 + 2 = 10, 7 + 3 = numeriskt värde studenter provar något nytt samt använder svaret vid den föregående uppgiften såsom enstaka sektion inom uträkningen, detta önskar yttra dem tar 42 (summan inom den inledande uppgiften) samt lägger mot 2 x 7 + 2 x 8 (de ytterligare tabletterna).

inom den efterföljande helklassdiskussionen ser läraren mot för att den sistnämnda lösningen tas upp.

Läraren introducerar sedan ytterligare ett variant från problemet: eleverna bör börja tillsammans tio tabletter inom stället till åtta. Sexton studenter använder då svaret vid den föregående uppgiften såsom enstaka sektion inom uträkningen. dem använder alltså den metod vilket ett student presenterat inom den föregående helklassdiskussionen samt liksom bara numeriskt värde studenter dittills besitter använt.

Att ett fåtal eleverna för att söka mönster på grund av för att behärska generalisera

Slutligen bör oss ge modell vid hur pedagog engagerar studenter inom matematiken genom för att be eleverna försöka hitta en mönster inom lösningen från matematiska bekymmer, samt vid vis hitta enstaka matematisk regel alternativt formel.

Vi bör återknyta mot klassrumsdialogen ifall fröken Jansens tabletter inom detta ovanstående stycket.

inom slutet från den lektionen får eleverna enstaka färsk prov (Elbers, , s. 87). Förutom för att receptet idag startar tillsammans tio tabletter, uppmanas eleverna för att tänka ovan angående dem kunna komma fram mot svaret utan för att summera. Läraren ger eleverna ett ledtråd till för att hitta en mönster, enstaka formel.

Läraren: Jag bör ge er ett ledtråd: titta på denna plats, jämför dem tre siffrorna.

då jag börjar tillsammans med 6 … då jag börjar tillsammans 8 … då jag börjar tillsammans med 12 … då ni jämför därför möjligen ni kommer mot enstaka slutsats, enstaka upptäckt.

Eleverna arbetar länge tillsammans uppgiften, gruppvis. inom gemensamma resonemang jämför samt samtalar om dem olika lösningar. Läraren går runt samt pratar tillsammans dem olika grupperna.

Diskussionen inom ett från grupperna resulterar inom för att några studenter finner ett svar vid lärarens kamp. Den presenteras inom ett helklassdiskussion. Lösningen existerar för att multiplicera antalet tabletter tillsammans en anförande större än detta, exempelvis 6 [tabletter] x 7, 8 [tabletter] x 9 osv.

Ett annat modell vid enstaka lärares uppmaning mot eleverna för att försöka hitta enstaka matematisk regel ges inom nästa extrakt ifrån Drageset ().

Eleverna äger strax innan funnit flera bråktal såsom existerar likvärdiga tillsammans enstaka halv. Läraren efterfrågar då enstaka regel till för att känna igen sådana bråktal. Då eleverna besitter gjort detta ger läraren en numeriskt modell till för att titta angående eleverna förmå tillämpa regeln vid det.

Läraren: Jag vet för att ni pratade ifall enstaka regel.

kunna ni hitta ett regel var detta existerar enkel för att titta liknande likvärdiga bråk: hur förmå oss utföra enstaka sådan?

Elev 1: divisor existerar dubbelt därför massiv såsom täljaren.

Läraren: Ja. divisor, detta önskar yttra den nedre, existerar dubbelt sålunda massiv såsom täljaren. [Pekar vid båda.] Stämmer.

Bra.

Läraren: dock ifall jag hittar vid en annat bråk vilket mot modell existerar 34 [Skriver ], förmå oss då titta för att … eh … för att täljaren existerar 34, förmå oss då utföra en bråk likt existerar detsamma såsom ett halv?

Elev 2:

Teacher: Bravo.

[Skriver detta nedanför 34 tillsammans ett linje emellan till för att producera en bråktal.] student 2, hur kom ni fram mot den lösningen?

(Drageset, , s. )

Ibland behövs mer stöd ifrån läraren

I dem föregående avsnitten äger oss redogjort på grund av lärarhandlingar vilket syftar mot för att producera förutsättningar på grund av elevers deltagande inom därför kallade utforskande diskussion.

detta bör dock sägas för att trots för att forskningen betonar vikten från elevers utforskande från egna samt andras matematiska idéer, därför innebär ej detta för att varenda klassrumsdialoger ständigt behöver, bör alternativt kunna artikel utforskande. Webb samt kollegor () konstaterar mot modell för att utforskande från elevers olika idéer, speciellt angående dem inkluderar nya idéer, ibland kunna artikel kontraproduktivt samt förvirrande till dem studenter vilket äger svårt för att förstå den initiala förklaringen (Webb , ).

Ibland behövs helt enkelt mer stöd ifrån läraren, vid därför vis för att läraren leder samtalen inom högre grad till för att behålla elevernas koncentration samt på grund av för att eleverna ej bör tappa tråden inom resonemangen (Drageset, ).

Läraren är kapabel då egen behöva förklara alternativt tillhandahålla sina tolkningar från detta likt samtalen handlar ifall (Cengiz , ; Drageset, ; Henning , ; Hufferd­-Ackles , ) alternativt således förmå läraren styra samtalen, utan för att detta nödvändigtvis sker vid bekostnad från elevernas aktiva deltagande (Elbers & Streefland, ; Hunter, ).

Lärarens stöd kunna exempelvis behövas då studenter ej själva ser sambanden mellan tidigare samt färsk insikt, då dem ej förmår resonera matematiskt, alternativt då dem ej klart är kapabel uttrycka sina idéer (Cengiz , ).

Cengiz samt kollegor () formulerar sig vid nästa sätt angående vikten från lärarens stödjande handlingar, handlingar liksom dem menar innebär mer från teacher telling:

Supporting actions could be viewed as less desirable because they involve more teacher telling. However, the information indikera that supporting actions play a significant role in ex- tending episodes (Cengiz , , s.

Exempel på öppna och slutna uppgifter För att illustrera vad en öppen uppgift kan vara, ger vi ett exempel

).

Då eleverna möter nytt matematiskt innehåll

Ett situation då läraren är kapabel behöva existera mer stödjande inom samtalen existerar då fräsch insikt introduceras inom undervisningen. detta ser oss bland annat inom enstaka lärande från Hufferd­-Ackles samt kollegor (). inom den beskrivs för att elevernas deltagande temporärt ändrar karaktär då nya term introduceras inom undervisningen.

Eleverna existerar då ej lika aktiva vilket dem plats innan. dem uttrycker ej sina idéer lika gärna samt dem ställer ej problem att diskutera inom identisk utsträckning vilket tidigare.

Ett modell vid en sådant situation ifrån identisk lärande existerar då undervisningen förändras ifrån för att handla angående multiplikation samt division mot för att fokusera vid flersiffrig addition samt subtraktion (Hufferd-­Ackles , ).

Eleverna blir då beneath ett period mindre engagerade inom resonemangen samt detta tar sedan flera dagar på grund av eleverna för att återta sina aktiva roller. beneath dessa dagar intar läraren ett mer huvud roll genom för att ta större ansvar på grund av samtalen. Läraren ger mer stöd inom struktur från förklaringar från innehållet, samt konstaterar inom enstaka samtal för att detta stödet hjälper eleverna för att hänga tillsammans inom undervisningen:

Once inom go over it and give them a sample of how inom would explain, they seem to catch on better (Hufferd-Ackles , , s.

).

Hufferd­-Ackles samt kollegor drar slutsatsen för att studenter behöver stöd från läraren på grund av för att lära sig nya mening samt term, på grund av för att sedan återigen behärska inta enstaka energisk roll inom dialogen:

(…) the mathematics must be accessible to students or familiar enough for them to be able to participate in meaningful discourse.

As teachers move through the year, they will need to fall back to level 1 or 2 to assist students in building vocabulary and concepts in new content areas (Hufferd-Ackles , , s. ). [Elevernas förändrade deltagande beskrivs inom nivåer, titta schematisk detaljer s. 14–]

Även studien från Henning samt kollegor () visar för att elevers deltagande inom samtalen förändras då färsk insikt introduceras.

inom den studien beskriver forskarna hur karaktären vid diskussionerna skiljer sig beneath olika faser från en undervisningsavsnitt, allteftersom eleverna blir mer bekanta tillsammans med innehållet. dem konstaterar även för att elevernas deltagande, vilket mäts inom antalet mening liksom dem yttrar, varierar ovan faserna. dem talar angående den start inramande diskussionen, den därpå nästa begreppsliga diskussionen då fräsch insikt introduceras, samt den avslutande tillämpande diskussionen.

Den inramande diskussionen sker tidigt inom undervisningen från en del.

Diskussionen äger då vilket avsikt för att ett fåtal studenter för att delta därför många liksom möjligt, aktualisera deras tidigare insikt inom området, samt producera en meningsfullt kontext på grund av den utbildning vilket bör följa. Uppgifterna kräver ej många matematisk insikt från eleverna. Eleverna existerar många aktiva.

Läraren uppmuntrar eleverna för att delta, bekräftar deras idéer samt styr samtalet inom nedsänkt utsträckning.

Därefter följer den begreppsliga diskussionen. på denna plats existerar syftet för att ett fåtal eleverna för att delta inom samtalen, samtidigt liksom fräsch insikt introduceras. Uppgifterna existerar längre samt mer komplexa än nära dem inramande diskussionerna.

Elevers deltagande inom samtalen existerar lägre än inom dem numeriskt värde övriga diskussionstyperna. Läraren ger mer stöd, genom för att exempelvis förbättra, omformulera samt summera elevernas idéer.

Den tillämpande diskussionen sker senaste inom undervisningsavsnittet. Syftet existerar för att eleverna bör förbättra matematisk medvetande genom för att tillämpa nyligen tillägnade term inom verkliga problemsituationer.

Uppgifterna likt ges inom den denna plats fasen existerar dem längsta samt maximalt komplexa. Elevernas deltagande existerar likt högst samt lärarens stöd liksom lägst.

Då studenter upplever detta matematiska innehållet liksom särskilt svårt

Nu existerar detta emellertid ej således enkelt för att detta bara existerar då fräsch insikt introduceras såsom läraren behöver artikel mer stödjande.

Ayalon samt kollegor () visar för att elevers möjligheter för att delta inom matematiska resonemang existerar resultatet från en samspel mellan karaktären vid innehållet, klassen samt lärarens utbildning. dem visar för att läraren mot modell behöver beakta för att visst matematiskt innehåll är kapabel upplevas svårare för att förstå än annat, samt för att elevernas förmågor samt förkunskaper förmå äga innebörd till deras deltagande.

Forskarna jämför elevernas deltagande inom diskussion inom fyra olika undervisningsrum inom vilka numeriskt värde olika matematiska innehåll behandlas: algebraiska formulering respektive algebraiska uttrycks likvärdighet (Ayalon & Even, ).

numeriskt värde pedagog, Sarah samt Rebecca, undervisar inom numeriskt värde klasser vardera. Lärarna besitter varsin klass såsom tidigare demonstrerat begränsat elevengagemang. inom detta en fallet handlar detta ifall disciplinära bekymmer samt inom detta andra angående svårigheter för att producera medvetande från innehållet. Lärarnas utbildning skiljer sig även.

Den en läraren, Sarah, dominerar samtalen genom för att inom upphöjd grad leda resonemangen, vilket för att egen motivera samt argumentera till dem matematiska påståenden såsom tas upp. Den andra läraren, Rebecca, lämnar däremot ovan många ansvar mot eleverna för att motivera samt bedöma påståenden. denna ger begränsat stöd inom struktur från exemplifieringar från hur eleverna är kapabel argumentera matematiskt.

Studien visar för att elevernas deltagande inom Sarahs klasser ser likadant ut oberoende från vilket innehåll vilket behandlas (Ayalon & Even, ).

Deras deltagande existerar dock begränsat jämfört tillsammans med elevdeltagandet inom Rebeccas klass, eftersom Sarah dominerar samtalen samt existerar den vilket motiverar samt diskuterar till påståenden. inom Rebeccas klass däremot existerar eleverna inom båda klasserna aktiva inom resonemangen då undervisningen behandlar algebraiska formulering, dock ej då den handlar angående algebraiska uttrycks likvärdighet.

inom detta sistnämnda fallet existerar detta bara inom den en klassen likt eleverna svarar vid Rebeccas uppmaning för att motivera sina påståenden. inom den andra klassen (den tillsammans studenter liksom tidigare besitter haft svårt för att förstå matematikinnehållet) får läraren ingen respons från eleverna vid sin uppmaning mot dem för att motivera påståenden.

De slutsatser liksom forskarna drar existerar för att till den klass liksom tidigare äger haft bekymmer tillsammans för att tillgodogöra sig detta matematiska innehållet blev detta svårt på grund av eleverna för att följa samt föra dem matematiska resonemangen, då Rebecca endast gav en begränsat stöd även då denna undervisade detta svårare innehållet (Ayalon & Even, ).

Forskarna konstaterar inom studien för att läraren skulle äga behövt existera mer stödjande inom klassrumsdialogerna inom detta fall.

Läraren styr dock eleverna deltar kvar aktivt

Vi äger tidigare konstaterat för att lärarens roll inom utforskande konversation skiljer sig ifrån den inom diskussion i enlighet med IRE-­modellen (Henning , ).

ett nödvändig skillnad existerar för att läraren ger utrymme på grund av elevernas matematiska idéer. Hur förmå då läraren nära behov stödja eleverna genom för att styra samtalen, utan för att detta sker vid bekostnad från elevernas aktiva deltagande? detta går oss in vid för tillfället, då oss visar hur pedagog inom dem utvalda studierna leder samtalen vid en sätt likt utför för att deras idéer ännu tas tillvara samt blir ett sektion från diskussionen.

detta sker bland annat genom för att läraren omformulerar detta eleverna säger, alternativt antyder tänkbara vägar för att vandra på grund av för att hitta ett lösning.

Omformulera detta eleverna säger

Läraren är kapabel genom för att upprepa detta eleverna säger, dock ej ordagrant, förtydliga ett elevs utsaga alternativt utföra således för att den blir mer matematiskt rätt.

detta sistnämnda innebär mot modell för att läraren byter ut vardaglig terminologi mot mer matematisk samt tar försvunnen eventuella fel alternativt felaktig begreppsanvändning (Elbers & Streefland, ). vid sålunda vis behålls anknytningen mot elevernas idéer dock dem uttrycks mer matematiskt korrekt.

Vi får modell vid detta inom ett lärande var eleverna inom helklass samtalar om hur man förmå mäta höjden vid en en hög byggnad eller struktur genom för att nyttja tornets skugga (Elbers & Streefland, ).

Eleverna får ge förslag vid hur man kunna vandra tillväga. Saskia föreslår för att man använder sin personlig skugga inom uträkningen, samt läraren omformulerar, ändrar en felaktigt påstående samt förtydligar vid således vis detta Saskia just sagt.

Saskia: Man kunna mäta sin personlig skugga. Den möjligen existerar hälften därför utdragen vilket ni.

Sen mäter ni tornets skugga samt delar detta tillsammans numeriskt värde. Sen vet ni hur högt tornet existerar, tror jag.

Läraren: [Riktar sig mot bota klassen.] Saskia säger för att man förmå mäta sin personlig skugga alternativt ett fåtal den mätt. Jag vet hur utdragen jag existerar, tillsammans min längd får jag ett därför denna plats utdragen skugga.

angående oss antar för att min skugga existerar numeriskt värde gånger således utdragen likt jag därför gäller detta identisk på grund av tornet. vid sålunda sätt förmå jag beräkna tornets höjd.

(Elbers & Streefland, , s. )

Ett annat modell vid omformulering existerar då ett pedagog förtydligar detta eleven uttrycker.

detta existerar ifrån ett dialog inom vilken ett skola, Heath, ger ett precis representation från en bekymmer, dock ett felaktig förklaring (Hunter, ). Uppgiften existerar för att räkna ut hur många man måste spara ifall man önskar köpa ett t­-shirt till 17 dollar samt redan besitter 9 dollar vid banken. Heaths formel förmå precis förstås vilket för att Z står till kostnaden till t-­shirten, alltså 17 dollar.

angående man tar den kostnaden minus 9 dollar, sålunda får man fram hur många man behöver spara.

De ger alla elever möjlighet att utveckla sin matematiska förmåga på sin nivå

Heath säger dock för att Z står på grund av hur många man måste spara samt för att X står till kostnaden till t-­shirten.

Heath: [Skriver Z – 9 = X.] Den inledande visar hur många oss behövde spara, den nästa hur många oss äger vid banken, detta existerar nian, samt den sista existerar kostnaden på grund av t-­shirten.

Läraren ger eleverna lite tidsperiod för att tänka ovan detta Heath besitter förklarat.

denna omformulerar sedan Heaths förklaring på grund av för att ge Heath enstaka tillfälle för att validera den alternativt ge ett fräsch förklaring.

Läraren: Jag bör bara fråga Heath vid nytt för tillfället då ni äger haft lite tidsperiod för att tänka ovan detta … ni sade för att summan liksom ni behöver spara ihop mot minus nio existerar lika tillsammans vad t-­shirten kostar.

är kapabel ni tänka ovan detta lite?

Heath: Jag menade egentligen för att detta [Pekar vid Z.] existerar vilket t-­shirten kostar, sedan tar oss detta minus nio till för att titta hur många oss behöver.

(Hunter, , s. )

Antyda ett möjlig lösning

En ytterligare metod såsom pedagog använder på grund av för att styra utan för att ta ovan samtalet, existerar för att antyda enstaka möjlig väg för att vandra på grund av för att åtgärda uppgiften.

Detta förmå exempelvis ske genom för att uppmärksamma eleverna vid vissa elevers förklaringar, dem vilket existerar vid korrekt spår, samt klargöra för att dem existerar intressanta för att diskutera samt undersöka vidare (Elbers & Streefland, ). oss bör exemplifiera detta tillsammans med extrakt ur enstaka dialog vilket handlar ifall hur man förmå mäta höjden vid ett byggnad tillsammans med hjälp från byggnadens skugga.

Strax innan oss kommer in inom samtalet besitter eleverna inom helklass samtalat om hur skuggans längd förhåller sig mot tornets höjd. Utdraget visar hur läraren styr samtalet genom för att uppmärksamma övriga studenter vid vad Peter samt Saskia just sagt.

Peter: Hur vet ni det? [Kommenterar en uttalande ifall för att skuggan existerar längre än tornet.]

Saskia: detta beror vid hur solen står.

Läraren: Peter frågar: Hur vet ni det?

Saskia svarar: detta beror vid hur solen står. förmå ni förklara detta Saskia?

Saskia: då solen står (rakt) ovanför sålunda tror jag för att skuggan existerar kortare.

Läraren: således, då solen står högt existerar skuggan mindre. samt då solen går ner? [Samtalet går vidare.]

(Elbers & Streefland, , s.

)

En ytterligare lärande visar hur läraren knyter an mot elevernas resonemang genom för att uppmärksamma dem vid hur dem bingobrickor dem använder på grund av för att symbolisera valuta samt ett bägare likt får symbolisera antal veckor, förmå förstås vilket variabler inom enstaka matematisk formel. enstaka formel likt kunna användas till för att räkna ut hur många enstaka individ likt sparar numeriskt värde dollar inom veckan äger sparat efter en visst antal (x antal) veckor (Radford, ).

Erbjuda sin tolkning alternativt summera tidigare påståenden

Läraren förmå även stödja eleverna inom dem gemensamma resonemangen genom för att delge eleverna sin tolkning från detta samtalet handlar angående.

detta exemplifieras inom nästa utsaga var läraren beskriver detta bekymmer några studenter försöker åtgärda till övriga elever: dem kämpar tillsammans med idén för att man möjligen ej behöver räkna ut hur flera kreditkort detta existerar inom varenda tre kortlekarna sammanlagt (Cengiz , , s. ). Läraren kunna även stödja elevers deltagande inom utforskande diskussion genom för att vid olika sätt summera dem föregående påståendena (Henning , ).

Slutsatser

Översikten avser för att ge enstaka nyanserad samt rik foto från vad forskningen sammantaget säger ifall klassrumsdialoger inom matematik.

Vår mål äger varit för att ge svar vid vad såsom kännetecknar klassrumsdialoger såsom engagerar studenter inom matematiska resonemang samt liksom tar tillvara elevers skillnader, samt vilket såsom kännetecknar lärarens ledning från sådana dialoger.

Vi kunna inledningsvis konstatera för att forskningen ej ger några enkla svar vid vilken alternativt vilka lärarhandlingar likt inom allmänhet leder mot för att studenter engagerar sig inom gemensamma matematiska resonemang.

enstaka bestämd papper verkar behärska existera produktiv inom en kontext dock ej inom en annat. Forskningen visar för att elevers deltagande snarast existerar resultatet från en samspel mellan karaktären vid innehållet, individerna inom klassen samt undervisningen.

Även ifall forskningen ej ger några enkla svar, ger den användbar förståelse ifall vilka handlingar såsom besitter potential för att engagera eleverna inom gemensamma matematiska resonemang, samt förståelse ifall vid vilket sätt samt varför dessa handlingar är kapabel tänkas stödja deras deltagande.

Den bidrar även tillsammans med förståelse vilket är kapabel ge ökad medvetande från den egna undervisningspraktiken genom för att sätta mening vid detta vilket sker inom klassrummet, samt känna igen mönster samt strukturer liksom kunna kännas igen. en modell existerar dem tre typer från klassrumsdialog likt definieras inom forskningen: disputerande, kumulativa samt utforskande samtal.

Forskningen visar även för att detta läraren fullfölja förmå äga massiv innebörd till hur klassrumsdialogerna gestaltar sig.

Speciellt talande existerar dem studier liksom visar hur karaktären vid elevernas deltagande förändras sidled tillsammans med lärarens sätt för att leda samtalen. Genom sitt handlande äger man alltså liksom pedagog massiv tillfälle för att förändra samtalen sålunda för att studenter blir mer aktiva deltagare inom gemensamma resonemang.

dock studenter existerar olika – dem skiljer sig vilket gäller förmågor, erfarenheter samt temperament – således, likt redan konstaterats, några enkla anvisningar angående lärarhandlingar liksom fungerar oavsett kontext finns ej. dock tillsammans lyhördhet inför elevernas respons vid dem egna handlingarna kunna man liksom pedagog både möta samt ta tillvara elevers skillnader inom undervisningen, vilket oss idag bör diskutera.

Deltagande inom utforskande diskussion innebär för att uttrycka sina egna idéer offentligt samt för att ifrågasätta, ifall än respektfullt, andra elevers idéer.

Den på denna plats typen från diskussion ställer alltså andra krav vid elevernas deltagande än den utbildning inom vilken läraren dominerar samt elevernas roll maximalt består inom för att svara vid lärarens problem att diskutera. för att delta inom utforskande konversation kunna kännas mer alternativt mindre utmanande på grund av olika studenter samt dessa skillnader behöver man möta vilket pedagog.

Kunskapen ifall sociala normers innebörd på grund av elevers deltagande ger vägledning till hur elevernas engagemang inom utforskande konversation är kapabel stödjas.

Studierna visar hur pedagog genom olika handlingar – dem exemplifierar, förstärker, omformulerar – successivt etablerar gynnsamma sociala normer inom klassrummet genom för att synliggöra vilket vilket existerar förväntade beteenden inom dialogerna.

sådana uttalade förväntningar vid beteenden ger samtliga studenter vägledning på grund av hur man resonerar gemensamt. samt möjligen ännu viktigare: uttalade förväntningar vid beteenden är kapabel ett fåtal tillsammans dem studenter likt känner motstånd mot för att delta inom gemensamma resonemang. dem förmå legitimera beteenden vilket studenter kunna uppleva sig obekväma tillsammans, liksom för att be andra studenter för att motivera sina påståenden, samt stödja studenter vilket tycker för att detta existerar obehagligt för att dela tillsammans sig från reflektioner samt idéer såsom dem känner sig osäkra på.

Elever besitter skilda erfarenheter samt dem fullfölja olika tolkningar från innehållet inom undervisningen.

Forskningen visar hur pedagog tar tillvara elevers olika matematiska idéer samt använder dem såsom enstaka tillgång till för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken. tillsammans öppna ämnen lockar läraren eleverna för att uttrycka sina skilda sätt för att förstå en bekymmer, varav inget behöver existera fel.

detta förmå mot modell handla ifall olika sätt för att åtgärda en bekymmer, liksom varenda ger identisk korrekta svar. Genom lärares handlingar – likt för att be eleverna motivera sina påståenden samt lösningsstrategier, jämföra olika lösningar alternativt bedöma olika påståenden samt lösningsstrategier – förmå eleverna stimuleras för att utforska matematiken inom dessa idéer.

inom en utforskande samtalsklimat är kapabel även elevers felsvar användas på grund av för att fördjupa elevernas engagemang inom matematiken. inom en sådant klimat ses elevers felsvar ej bara vilket acceptabla utan även likt användbara: dem ger tillfälle för att omtolka en bekymmer, utforska motsägelser samt testa alternativa strategier.

I utforskande konversation får elevernas matematiska idéer stort utrymme.

dock detta innebär ej för att läraren lämnar ovan allt ansvar på grund av för att utforska matematiken mot eleverna. Även då samtalen äger förändrats därför för att studenter deltar aktivt tillsammans med problem att diskutera samt förklaringar behöver läraren finnas var på grund av för att underlätta resonemangen samt ge stöd nära behov. Dessutom behöver läraren ta större ansvar till för att leda samtalen nära vissa tillfällen, mot modell då fräsch förståelse introduceras alternativt då eleverna upplever för att en visst innehåll existerar ytterligare svårt för att förstå.

samtliga matematiska konversation behöver heller ej existera utforskande; detta existerar ej ständigt läge. Ibland kunna man såsom pedagog behöva leda samtalet inom högre utsträckning på grund av för att behålla elevers koncentration, alternativt på grund av för att dem ej bör tappa tråden.

Avslutningsvis önskar oss betona för att förändringar från matematiska diskussion inom klassrummen tar period.

existerar eleverna vana för att klassrumsdialogerna inom matematik vanligen förs i enlighet med en IRE-mönster kräver förändringen både för att eleverna lär sig nya sätt för att delta inom samtalen samt känner sig trygga tillsammans dem nya förväntningarna vid deltagande. dem studier såsom beskriver förändringar inom samtalen pågår beneath flera månader.

Tabell 2.

kunskap angående dem 18 studier såsom ingår inom översikten

Författare, tid och titel	Land	Års-kurs	Matematikinnehåll	Resultat
Ayalon ()   Factors shaping students’ opportunities to engage in argumentative activity	Israel	Åk 7	Algebra: Generaliserbara attribut hos algebraiska formulering samt bevis från uttrycks likvärdighet (Ex. existerar m-1 likvärdigt tillsammans 1-m?)	Elevers möjligheter för att delta inom gemensamma matematiska resonemang formas från samspelet mellan karaktären vid matematikinnehållet, karaktären vid lärarens utbildning samt karaktären vid klassen.
Baxter ()   We talk about it, but do they get it?	USA	Åk 4	Taluppfattning samt tals användning: Problemlösande vardagsmatematik tillsammans addition, subtraktion samt multiplikation.	Förändringen från karaktären vid pedagog samt elevers matematiska konversation beneath enstaka nioveckorsperiod. ifrån lärarcentrerade mot elevcentrerade samtal.
Cengiz ()   Extending students&#; mathematical thinking during whole-Group discussions	USA	Åk 1–4	Taluppfattning samt tals användning: Problemlösande vardagsmatematik tillsammans med addition samt subtraktion från heltal (åk 1–3) samt multiplikation samt division (åk 4)	Lärares olika handlingar nära tillfällen då studenter engageras inom matematisk reflektion samt matematiska resonemang, sålunda kallade ”vidgande episoder” (extending episodes)
Drageset ()   Redirecting, progressing, and focusing actions-a ramverk for describing how teachers use students&#; comments to work with mathematics	Norge	Åk 5–7	Taluppfattning samt tals användning: Egenskaper samt användning från anförande inom bråkform. (Ex. Förklara varför ½, 2/4 samt 25/50 existerar lika)	Lärares olika handlingar inom diskussion inom heklass inom (den ordinarie) matematikundervisningen inom helklass. dem benämns inom förhållande mot hur dem förmår för att engagera/inte engagera studenter inom matematiken. ifall för att läraren ibland behöver existera mer stödjande.
Elbers ()   Classroom interaction as reflection: learning and teaching mathematics in a community of inquiry	Neder-länderna	Åk 7–8	Taluppfattning samt tals användning samt Algebra: Strategier på grund av problemlösning inom verklighetstrogna situationer tillsammans med addition, multiplikation samt mönster inom talföljder.	Lärares handlingar på grund av för att erhålla studenter för att föreslå andra sätt för att tänka samt åtgärda bekymmer, samt vid således vis ett fåtal studenter för att lära sig olika matematiska lösningsstrategier från varandra.
Elbers ()   Collaborative learning and the construction of common knowledge	Neder-länderna	Åk 8	Geometri: Matematiska modeller samt strategier till problemlösning inom verklighetstrogna situationer tillsammans med fokus vid skal samt uppskattning från längd. (Ex. Hur kunna oss räkna ut höjden vid kyrktornet på denna plats bredvid skolan?)	Hur pedagog engagerar studenter inom en rollövning ”Vi existerar vetenskapsman. Låt oss forska!” samt vid därför vis får eleverna för att delta inom gemensamma matematiska samtal.
Franke ()   Student engagement with others’ mathematical ideas: The role of teacher invitation and support moves	USA	Åk 1–5	Taluppfattning samt tals användning: Egenskaper samt användning från heltal samt anförande inom bråkform.	Samband mellan lärares handlingar samt deras engagemang inom andra elevers idéer. angående för att enstaka samt identisk lärarhandling ofta leder mot olika engagemang hos eleverna.
Henning ()   Mathematics discussions bygd design: Creating opportunities for purposeful participation	USA	Åk 7	Geometri: Egenskaper samt användning från geometriska term till för att beräkna area samt volym från kuber, prismor, cylindrar, koner samt sfärer samt upptäcka relationer samt samband mellan olika geometriska figurer.	Om olika karaktär vid diskussionerna inom olika skeden från en undervisningsavsnitt: inramande, begreppslig samt tillämpande samtal. angående för att pedagog samt elevers deltagande skiljer sig inom dem olika diskussionerna, exemepelvis för att läraren styr samtalen mer inom dem begreppsliga diskussionerna då fräsch förståelse introduceras.
Hufferd-Ackles ()   Describing levels and components of a math-talk learning community	USA	Åk 3	Taluppfattning samt tals användning: De fyra räknesättens attribut samt användning tillsammans med fokus vid ensiffrig multiplikation samt division samt flersiffrig addition samt subtraktion.	Beskrivningar från hur lärarens samt elevernas roller successivt förändras beneath en skolår inom riktning mot utforskande diskussion. Förändringarna beskrivs inom nivåer inom förhållande mot nyckelfaktorerna: frågande, förklarande, källa mot matematiska idéer samt ansvar på grund av utbildning samt utvärdering.
Hunter ()   Developing learning environments which support early algebraic reasoning: A case from a New Zealand primary classroom	Nya Zeeland	9–11 år	Algebra: Förståelse samt användning från enkla algebraiska formulering samt omformulering från talföljder samt geometriska mönster mot formulering (Ex. 23 + 15 = _ + 17)	Karaktärisering från olika nivåer inom elevers engagemang inom andra elevers matematiska idéer tillsammans med begreppen utforskande, disputerande samt kumulativa samtal. angående hur pedagog etablerar sociala samt sociomatematiska normer på grund av utforskande samtal.
Hunter ()   Coming to &#;know&#; mathematics through being scaffolded to &#;talk and do&#; mathematics	Nya Zeeland	Åk 4–8	Taluppfattning samt tals användning: Förståelse samt generaliserbarhet till sambandet multiplikation samt repeterande addition samt relationen del-helhet nära bråkräkning.	Förändringen från karaktären vid lärarens samt elevernas matematiska konversation mot mer utforskande samtal.
Kazemi ()   Promoting conceptual thinking in fyra upper-elementary mathematics classrooms	USA	Åk 4–5	Taluppfattning samt tals användning: Egenskaper samt beräkningar tillsammans anförande inom bråkform. medvetande till likvärdighet samt relationen del-helhet samt addition från enklare bråktal.	Om hur vissa sociomatematiska normer kommer/inte kommer mot formulering inom klassrumsdialoger inom fyra olika undervisningsrum, samt vilket detta betyder på grund av ifall eleverna existerar engagerade inom matematiken vid en djupare program alternativt inte.
Makar ()   Scaffolding norms of argumentation-based inquiry in a primary mathematics classroom	Austra-lien	Åk 4	Sannolikhet samt statistik: Problemlösande vardagsmatematik tillsammans enkla undersökningar samt sortering från information inom tabeller samt diagram. (Ex. Undersök tiden detta tar på grund av samtliga studenter inom klassen för att studera enstaka bok)	Om lärares etablering från sociala normer till deltagande inom gemensamma matematiska resonemang. Läraren synliggör önskvärda beteenden, genom för att exemplifiera, förstärka samt omformulera elevernas beskrivningar från beteenden.
McCrone ()   The development of mathematical discussions: an investigation in a fifth-grade classroom	USA	Åk 5	Taluppfattning samt tals användning: Problemlösande information tillsammans addition samt subtraktion samt medvetande till generaliserbarhet genom för att hitta mönster.	Beskrivningar från hur lärarens samt elevernas roller förändras sidled beneath sex månader inom riktning mot utforskande konversation. Exempelvis hur karaktären vid lärarens problem att diskutera ändras samtidigt tillsammans med karaktären vid elevernas deltagande, samt angående lärarens samt elevernas förhandlingar kring vissa sociomatematiska normer.
Mercer ()   Teaching children how to use language to solve maths problems	Storbri-tannien	Åk 5	Taluppfattning samt tals användning: Förståelse till relationer mellan anförande genom för att utforska samt nyttja dem fyra räknesätten. (Ex. Vilka räkneoperationer kunna användas till för att vandra ifrån 4 mot -2?)	Beskrivning från vad såsom karaktersierar utforskande diskussion samt analyser från skillnader inom lärares samt elevers beteenden inom förhållande mot angående dem resonerar utforskande alternativt inte.
Parks ()   Diversity of practice within one mathematics classroom	USA	Åk 3	Taluppfattning samt tals användning samt Geometri: Förståelse samt användning från beräkningsmetoder tillsammans addition, avrundning samt area.	Om för att studenter klarar från olika arbetssätt inom undervisningen olika utmärkt. Studien jämför elevers deltagande inom matematiska diskussioner, grupparbeten samt lekövningar.
Radford ()   Intercorporeality and ethical commitment: an activity perspective on classroom interaction	Kanada	Åk 4	Algebra: Modellering, konstruktion samt skildring från mönster samt talföljder. (Ex. enstaka individ besitter kr samt sparar sedan 10 kr/vecka. Konstruera enstaka modell från sparprocessen mot samt tillsammans med sju dagar 5).	Om elevers gemensamma matematiska resonemang samt angående hur läraren förmå knyta an mot detta samt ta dem steget vidare mot för att formulera enstaka matematisk formel.
Webb ()   Engaging with others&#; mathematical ideas: Interrelationships among lärling participation, teachers&#; instructional practices, and learning	USA	Åk 3–4	Taluppfattning samt tals användning: Egenskaper hos samt problemlösande vardagsmatematik tillsammans med fokus vid anförande inom bråkform.	Om numeriskt värde dimensioner från elevers engagemang inom gemensamma resonemang: 1) uttrycka sina egna matematiska idéer samt 2) engagera sig inom andra elevers matematiska idéer. Karaktäriserar lärares olika handlingar på grund av för att engagera eleverna inom varandras idéer samt karaktäriserar olika nivåer vid elevernas engagemang inom andra elevers idéer.

Alla studier bygger vid detaljerad observationer samt analyser från dialoger inom helklass.