Vad är polär form matte 4

I detta start avsnittet angående komplexa anförande stötte oss vid för att oss kunna nedteckna komplexa anförande inom rektangulär struktur, såsom z = a + bi, var a samt b existerar reella anförande samt i existerar den imaginära enheten. oss äger även sett för att oss förmå företräda en komplext anförande inom detta komplexa talplanet såsom antingen enbart enstaka punkt alternativt ett pil såsom går ifrån origo mot punkten.

I detta denna plats avsnittet bör oss presentera en annat sätt för att entydigt nedteckna komplexa anförande, nämligen inom polär form.

för att nedteckna komplexa anförande inom polär form eller gestalt fullfölja för att detta blir många enklare för att multiplicera alternativt dividera komplexa tal än ifall oss skulle utföra motsvarande räkneoperationer vid komplexa anförande skrivna inom rektangulär form.

Polär form

Eftersom oss entydigt förmå företräda en komplext anförande, \(z = a + bi\), inom detta komplexa talplanet såsom enstaka punkt alternativt enstaka pil liksom går ifrån origo mot punkten, existerar detta även möjligt för att notera detta komplexa talet utifrån pilens längd mellan origo samt punkten, samt vinkeln mellan pilen samt den reella axelns positiva blad (Re).

Skriver oss detta komplexa talet z vid detta sätt därför existerar detta skrivet inom polär form.

För för att behärska notera en komplext anförande z inom polär form eller gestalt behöver oss alltså dels pilens längd samt dels vinkeln.

Absolutbeloppet |z|

Pilens längd kunna oss beräkna vid motsvarande sätt likt oss fullfölja då oss önskar ta reda vid enstaka vektors längd, detta önskar yttra genom för att oss kalkylerar detta komplexa talets absolutbelopp, |z|.

oss förmå forma ett rätvinklig triangel utifrån pilens längd mellan origo samt punkten såsom triangelns hypotenusa, samt detta komplexa talets realdel samt imaginärdel likt respektive katet.

http://www

på det sättet kunna oss beräkna detta komplexa talets absolutbelopp tillsammans hjälp från Pythagoras sats:

$${|z|}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}$$

$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$$

Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, därför blir detta tals absolutbelopp

$$|z|=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$$

Argumentet till z

För för att notera detta komplexa talet z inom polär struktur behöver oss även uppleva mot vinkeln mellan pilen vilket går ifrån origo mot punkten samt den reella axelns positiva blad (Re).

Denna vinkel kallar oss detta komplexa talets argument, alternativt argumentet på grund av z, vilket oss förmå notera såsom arg z.

Argumentet till z är kapabel oss beräkna tillsammans hjälp från dem elementär trigonometriska sambanden. ifall oss betecknar vinkeln mellan den reella axelns positiva blad tillsammans med v, därför förmå oss till komplexa anförande z inom den inledande kvadranten nedteckna sambandet som

$$\tan\,v=\frac{b}{a}$$

där b existerar imaginärdelen samt a existerar realdelen.

Detta ger oss vinkeln

$$v=\arctan\,\left (\frac{b}{a} \right )$$

Har oss mot modell en komplext anförande z = 8 + 6i, således blir denna vinkel, såsom inom detta fall även utgör argumentet till z, lika med

$$v=\arctan\,\left (\frac{6}{8} \right )\approx{37}^{\circ}$$

Med dem beteckningar oss äger infört är kapabel oss hitta formulering på grund av Re z = a samt Im z = b likt enbart beror vid absolutbeloppet |z| samt argumentet till z.

Vi förmå skriva

$$\sin\,v=\frac{b}{|z|}$$

vilket ger oss

$$b=|z|\cdot \sin\,v$$

På motsvarande sätt förmå oss skriva

$$\cos\,v=\frac{a}{|z|}$$

vilket ger oss

$$a=|z|\cdot \cos\,v$$

Sammantaget är kapabel oss alltså notera en komplex anförande z = a + bi som

$$z=|z|\cdot \cos\,v+i\cdot |z|\cdot \sin\,v=$$

$$=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)$$

vilket existerar z skrivet inom polär form.

Med dem beteckningar oss använder kunna oss titta detta komplexa talet inom detta komplexa talplanet därför här:

---

Skriv nästa komplexa anförande inom polär form.

$$z=-2+i$$

För för att behärska nedteckna talet inom polär struktur behöver oss ta reda vid dels absolutbeloppet från z samt dels argumentet till z.

inom nästa figur kunna oss titta detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:

Absolutbeloppet från z kalkylerar oss som

$$|z|=\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{{(-2)}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$$

Argumentet till z blir lite knepigare än tidigare, eftersom vårt komplexa anförande för tillfället ligger inom den andra kvadranten.

Vi är kapabel forma ett rätvinklig triangel inom den andra kvadranten, till vilken oss besitter ett spetsig vinkel

$$u=\arctan\,\left (\frac{|a|}{|b|} \right )=\arctan\,\left ( \frac{2}{1} \right )\approx {63}^{\circ}$$

Argumentet på grund av z blir lika med

$$v=u+{90}^{\circ}\approx{153}^{\circ}$$

Sammantaget förmå oss alltså nedteckna talet z inom polär struktur som

$$z=|z|\cdot (\cos\,v+i\cdot \sin\,v)\approx$$

$$\approx\sqrt{5}\cdot (\cos\,{153}^{\circ}+i\cdot \sin\,{153}^{\circ})$$

---

Skriv nästa komplexa anförande inom rektangulär form.

$$z=3\cdot (\cos\,{240}^{\circ}+i\cdot \sin\,{240}^{\circ}) $$

För för att behärska notera talet z inom rektangulär form eller gestalt behöver oss ta reda vid dels realdelen samt dels imaginärdelen.

Vi börjar tillsammans för att känna igen detta komplexa talets absolutbelopp samt argument:

$$|z|=3$$

$$v={240}^{\circ} $$

Att argumentet existerar 240° innebär för att talet ligger inom den tredjeplats kvadranten inom detta komplexa talplanet.

Därför kunna oss forma enstaka rätvinklig triangel inom den tredjeplats kvadranten, vars hypotenusa besitter längden 3 l.e. samt var vinkeln u mellan den reella axelns negativa sektion är

$$u=v-{180}^{\circ}={240}^{\circ}-{180}^{\circ}={60}^{\circ}$$

enligt figuren nedan.

Nu förmå oss beräkna längden vid triangelns kateter, |a| samt |b|, vilka kommer för att anta positiva värden:

$$\cos\,{60}^{\circ}=\frac{|a|}{|z|}$$

$$|a|=|z|\cdot \cos\,{60}^{\circ}=3\cdot \cos\,{60}^{\circ}=1,5$$

och

$$\sin\,{60}^{\circ}=\frac{|b|}{|z|}$$

$$|b|=|z|\cdot \sin\,{60}^{\circ}=3\cdot \sin\,{60}^{\circ}\approx2,6$$

Eftersom detta komplexa talet z inom vårt modell ligger inom den tredjeplats kvadranten, måste både realdelen samt imaginärdelen existera negativa, sålunda oss får

$$a=(-1)\cdot |a|=-1,5 \\b=(-1)\cdot |b|\approx-2,6$$

Därför kunna oss alltså notera detta komplexa talet z inom rektangulär struktur som

$$z\approx-1,5-2,6i $$